Question

12．最近，科學家在望遠鏡中看到太陽系外某一恒星系中的一行星，并測得它圍繞該恒星運動一周所用的時間為1 200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100倍．假定該行星繞恒星運動的軌道和地球繞太陽運動的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數(shù)據(jù)可以求出的量有（　�。�

• A． 行星的向心力與地球的向心力之比
• B． 恒星的密度與太陽的密度之比
• C． 恒星的質量與太陽的質量之比
• D． 行星的向心加速度與地球公轉向心加速度之比

Answer 1

分析 根據(jù)行星的萬有引力等于向心力，結合行星的軌道半徑和公轉周期列式求出恒星質量的表達式進行討論即可．

解答 解：行星繞恒星做勻速圓周運動，設恒星質量為M，行星質量為m，軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$…①
故太陽的質量為：$M′=\frac{4{π}^{2}r{′}^{2}}{GT{′}^{2}}$…②
A、由于不知道行星和地球質量的關系，所以無法求得行星的向心力與地球的向心力之比，故A錯誤；
B、恒星的密度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4π{{\;}^{2}r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，由于不知道恒星和太陽的半徑，所以無法求得恒星的密度與太陽的密度之比，故B錯誤；
C、由于地球的公轉周期為1年，根據(jù)①②式可以求得恒星質量與太陽質量之比，故C正確；
D、根據(jù)$a=\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$且已知行星和地球的軌道半徑和周期關系，故可求行星的向心加速度與地球公轉向心加速度之比，故D正確；
故選：CD．

點評 本題關鍵是根據(jù)行星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，列方程求出太陽和恒星的質量和環(huán)繞速度，然后分析即可．