Question

12．最近，科學(xué)家在望遠(yuǎn)鏡中看到太陽系外某一恒星系中的一行星，并測得它圍繞該恒星運動一周所用的時間為1 200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100倍．假定該行星繞恒星運動的軌道和地球繞太陽運動的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數(shù)據(jù)可以求出的量有（　　）

• A． 行星的向心力與地球的向心力之比
• B． 恒星的密度與太陽的密度之比
• C． 恒星的質(zhì)量與太陽的質(zhì)量之比
• D． 行星的向心加速度與地球公轉(zhuǎn)向心加速度之比

Answer 1

分析 根據(jù)行星的萬有引力等于向心力，結(jié)合行星的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期列式求出恒星質(zhì)量的表達(dá)式進(jìn)行討論即可．

解答 解：行星繞恒星做勻速圓周運動，設(shè)恒星質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$…①
故太陽的質(zhì)量為：$M′=\frac{4{π}^{2}r{′}^{2}}{GT{′}^{2}}$…②
A、由于不知道行星和地球質(zhì)量的關(guān)系，所以無法求得行星的向心力與地球的向心力之比，故A錯誤；
B、恒星的密度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4π{{\;}^{2}r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，由于不知道恒星和太陽的半徑，所以無法求得恒星的密度與太陽的密度之比，故B錯誤；
C、由于地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，根據(jù)①②式可以求得恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比，故C正確；
D、根據(jù)$a=\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$且已知行星和地球的軌道半徑和周期關(guān)系，故可求行星的向心加速度與地球公轉(zhuǎn)向心加速度之比，故D正確；
故選：CD．

點評 本題關(guān)鍵是根據(jù)行星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，列方程求出太陽和恒星的質(zhì)量和環(huán)繞速度，然后分析即可．