Question

6．如圖所示，半徑為R的光滑半圓形軌道固定在豎直面內(nèi)．小球A、B質(zhì)量分別為m、km（k為大于1的待定常數(shù)）．A球從左邊與圓心等高處P點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點(diǎn)的B球相撞以后，兩球又會(huì)同時(shí)回到最低點(diǎn)再次發(fā)生碰撞，碰撞中無(wú)機(jī)械能損失，已知從最低點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)再回到最低點(diǎn)所用的時(shí)間只與初速度有關(guān)，重力加速度為g．試求常數(shù)k的大�。�

Answer 1

分析 第一次碰撞前A球下滑的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律求第一次碰撞前瞬間A球的速度．由于碰撞中無(wú)機(jī)械能損失，則碰撞過(guò)程遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，由此列式求出碰后兩球的速度．再根據(jù)兩球碰后能同時(shí)回到最低點(diǎn)再次發(fā)生碰撞的條件結(jié)合解答．

解答 解：設(shè)第一次碰撞前瞬間A球速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得：$v=\sqrt{2gR}$
設(shè)小球A、B第一次碰撞后瞬間速度分別為v₁、v₂，取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有：
mv=mv₁+kmv₂  
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$kmv₂²  
解得：${v_1}=-\frac{k-1}{k+1}v$，${v_2}=\frac{2}{k+1}v$
兩球碰后能同時(shí)回到最低點(diǎn)再次發(fā)生碰撞，則有v₁=-v₂，即得 k=3
答：常數(shù)k的大小是3．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要明確兩球發(fā)生彈性碰撞時(shí)，遵守兩大守恒：機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒，要靈活選擇研究對(duì)象和研究過(guò)程進(jìn)行處理．