Question

18．如圖所示，豎直平面內(nèi)的軌道是由傾角為θ的粗糙直軌道AB和半徑為R的光滑圓弧軌道BCD相切于B點(diǎn)而構(gòu)成的，E為軌道的最低點(diǎn)．質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，物塊沿軌道向下運(yùn)動(dòng)．物塊與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．
（1）若P點(diǎn)與圓心O等高，求物塊運(yùn)動(dòng)到軌道BCD上的最高點(diǎn)P₁與E點(diǎn)間的高度差h；
（2）在保證物塊能在軌道AB與BCD間做往返運(yùn)動(dòng)的前提下，求P、E兩點(diǎn)間高度差H的最大值及在此條件下物塊在軌道AB上運(yùn)動(dòng)的總路程L的最大值．

Answer 1

分析 （1）由粗糙斜面滑到光滑圓弧軌道的過(guò)程中，要克服摩擦力做功，到達(dá)圓弧軌道的高度比初始高度要低，根據(jù)定理求${P}_{1}^{\;}$與E點(diǎn)的高度差．
（2）保證物塊能在軌道AB與BCD間做往返運(yùn)動(dòng)，物塊弧形在軌道上升的高度最大到C點(diǎn)，越過(guò)C點(diǎn)將做拋體運(yùn)動(dòng)或圓周運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)離開(kāi)，根據(jù)動(dòng)能定理求出H，多次往返后最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，以E點(diǎn)位平衡位置左右來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)，到兩端點(diǎn)速度為O，對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理可以求出L．

解答 解：設(shè)${P}_{1}^{\;}$點(diǎn)與E點(diǎn)間的高度差為h，由P→${P}_{1}^{\;}$根據(jù)動(dòng)能定理得
$mg（R-h）-μmgcosθ\frac{R}{tanθ}=0-0$
解得$h=R-\frac{μRco{s}_{\;}^{2}θ}{sinθ}$
（2）為保證物塊能在軌道AB與BCD間做往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、E兩點(diǎn)間高度差H的最大值時(shí)，恰好能到達(dá)C點(diǎn)，由P→C根據(jù)動(dòng)能定理有：
$mg（H-R）-μmgcosθ\frac{H-R（1-cosθ）}{sinθ}=0-0$
解得$H=\frac{Rsinθ-μRcosθ+μRco{s}_{\;}^{2}θ}{sinθ-μcosθ}$
對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理得（B點(diǎn)為末狀態(tài)）
mg（H-R（1-cosθ））-μmgcosθL=0-0
解得$L=\frac{H-R（1-cosθ）}{μcosθ}$（式中H如上）
答：（1）若P點(diǎn)與圓心O等高，求物塊運(yùn)動(dòng)到軌道BCD上的最高點(diǎn)P₁與E點(diǎn)間的高度差h為$R-\frac{μRco{s}_{\;}^{2}θ}{sinθ}$；
（2）在保證物塊能在軌道AB與BCD間做往返運(yùn)動(dòng)的前提下，求P、E兩點(diǎn)間高度差H的最大值為$\frac{Rsinθ-μRcosθ+μRco{s}_{\;}^{2}θ}{sinθ-μcosθ}$及在此條件下物塊在軌道AB上運(yùn)動(dòng)的總路程L的最大值$L=\frac{H-R（1-cosθ）}{μcosθ}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是選擇研究對(duì)象和適當(dāng)?shù)倪^(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理計(jì)算，結(jié)合必要的幾何知識(shí)求解位移，審題時(shí)要注意鞋面粗糙，圓弧軌道光滑．