Question

20．跳臺滑雪起源于挪威，于1924年被列為首屆冬奧會比賽項目．某滑雪軌道如圖所示，其中BC段水平，光滑斜面CD與半徑為R 的光滑圓弧軌道相切于D點，P為圓弧軌道最低點，且∠POD=θ．A與B、D、P的高度差分別為h₁、h₂、h₃．一個質量為m的滑雪運動員從A點由靜止開始自由滑下，經過C點水平滑出后恰好落在斜面CD的中點E 處，緊接著沿軌道繼續(xù)滑行，到達P點時所受軌道支持力大小為N，運動員可視為質點，不計空氣阻力，重力加速度大小為g．求：
（1）運動員從C點運動到E點的時間t及從C點飛出時的速度；
（2）運動員到達D點時的動能E_k；
（3）運動員在E點損失的機械能△E．

Answer 1

分析 （1）先由機械能守恒定律求出運動員從C點飛出時的速度．從C點飛出后運動員做平拋運動，再根據豎直位移與水平位移之比等于tanθ，求運動到E點的時間t．
（2）先由牛頓第二定律求出運動員到達P點時的速度，再研究DP過程，由機械能守恒定律求運動員到達D點時的動能E_k．
（3）由機械能守恒定律求出運動員落在E點后瞬間的動能，由速度合成求出落在E點前瞬間的速度，得到動能，從而求出損失的機械能△E．

解答 解：（1）運動員從A到C，由機械能守恒定律得：
mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，
得：v_C=$\sqrt{2g{h}_{1}}$
從C點飛出后運動員做平拋運動，斜坡CD的傾角等于θ，落在E點時有：
tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{C}t}$
可得：t=$\frac{2tanθ\sqrt{2g{h}_{1}}}{g}$
（2）在P點，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
從D到P的過程，由機械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-E_k=mgR（1-cosθ）
聯立解得：E_k=$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）
（3）運動員落在E點瞬間的速度為：
v_E=$\sqrt{{v}_{C}^{2}+（gt）^{2}}$=$\sqrt{2g{h}_{1}（1+4ta{n}^{2}θ）}$
E到D的過程，由機械能守恒定律得：mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$=E_k-E_kE
可得，運動員落在E點后瞬間的動能為：
E_kE=$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）-mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$
則運動員在E點損失的機械能為：
△E=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-E_kE=mgh₁（1+4tan²θ）-$\frac{1}{2}N$+mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）+mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$
答：（1）運動員從C點運動到E點的時間是$\frac{2tanθ\sqrt{2g{h}_{1}}}{g}$，從C點飛出時的速度是$\sqrt{2g{h}_{1}}$；
（2）運動員到達D點時的動能E_k是$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）；
（3）運動員在E點損失的機械能△E是mgh₁（1+4tan²θ）-$\frac{1}{2}N$+mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）+mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$．

點評 本題是多過程問題，分析清楚運動員的運動過程，把握每個過程的物理規(guī)律是關鍵．要明確運動員落在斜面上時意味著位移方向與水平方向的夾角等于斜面的傾角，根據分位移關系求出時間．