Question

7．如圖豎直放置的光滑平行金屬導軌MN、PQ相距L=1m，在M點和P點間接一個阻值R=1Ω的電阻，在兩導軌間 OO₁O₁′O′矩形區(qū)域內(nèi)有垂直導軌平面向里、寬為d=1m的勻強磁場，磁感應強度為B=1T．一質(zhì)量為m=0.2kg，電阻也為R=1Ω的導體棒ab垂直擱在導軌上，與磁場上邊邊界相距也為d=1m．現(xiàn)使ab棒由靜止開始釋放，棒ab在離開磁場前已經(jīng)做勻速直線運動（棒ab與導軌始終保持良好的電接觸且下落過程中始終保持水平，導軌電阻不計）．求：
（1）棒ab在離開磁場下邊界時的速度；
（2）棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）ab棒在磁場中運動的時間．

Answer 1

分析 （1）導體棒做勻速直線運動，處于平衡狀態(tài)，由安培力公式及平衡條件可以求出棒離開下邊界時的速度．
（2）由能量守恒定律可以求出金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）ab棒在磁場中先做加速度減小的變加速運動，后做勻速運動，由牛頓第二定律和加速度定義式結合求解時間．

解答 解：（1）設棒ab在離開磁場下邊界時的速度為v．導體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢為：E=BLv
電路中的感應電流為：I=$\frac{E}{2R}$
導體棒做勻速直線運動，由平衡條件得：mg-BIL=0，
解得：v=$\frac{2mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{2×0.2×10×1}{{1}^{2}×{1}^{2}}$=4m/s；
（2）設整個電路產(chǎn)生的焦耳熱是Q，由能量守恒定律可得：mg•d）=Q+$\frac{1}{2}$mv²，
棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱 Q_ab=$\frac{1}{2}$Q，
解得：Q_ab=mgd-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$=1.2J
（3）棒ab剛進入磁場時的速度為：v₀=$\sqrt{2gd}$=2$\sqrt{5}$m/s
設棒ab在磁場中運動速度為v時加速度為a，則由于：mg-BIL=ma
又I=$\frac{BLv}{2R}$，a=$\frac{△v}{△t}$
可得：mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$=m$\frac{△v}{△t}$
變形得：mg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v△t}{2R}$=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$mg△t-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v△t}{2R}$=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
得：mgt-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d}{2R}$=m（v-v₀）
代入解得：$t=\frac{{13-4\sqrt{5}}}{20}$≈0.2s   
答：（1）棒ab在離開磁場下邊界時的速度是4m/s；
（2）棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱是1.2J；
（3）ab棒在磁場中運動的時間是0.2s．

點評 本題最后一問要求非勻變速運動的時間，不能直接運用運動學公式解答，而要運用積分法求解，其切入點是牛頓第二定律和加速度定義式．