Question

如圖所示，A、B兩個(gè)矩形木塊用輕彈簧相接靜止在水平地面上，彈簧的勁度系數(shù)為k，木塊A和木塊B的質(zhì)量均為m．
（1）若用力將木塊A緩慢地豎直向上提起，木塊A向上提起多大高度時(shí)，木塊B將離開水平地面．
（2）若彈簧的勁度系數(shù)k是未知的，將一物體C從A的正上方某位置處無(wú)初速釋放，C與A相碰后立即粘在一起（不再分離）向下運(yùn)動(dòng)，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)．已知C的質(zhì)量為m時(shí)，把它從距A高為H處釋放，則最終能使B剛好離開地面．若C的質(zhì)量為

m

2

，要使B始終不離開地面，則釋放時(shí)，C距A的高度h不能超過(guò)多少？

Answer 1

分析：（1）在提起A的過(guò)程中，彈簧先有原來(lái)的壓縮狀態(tài)逐漸的恢復(fù)到原長(zhǎng)，然后彈簧又被拉伸，當(dāng)彈簧的拉力等于B的重力的時(shí)候B就要離開地面，根據(jù)B此時(shí)的受力可以求得此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，A被提起的高度等于彈簧原來(lái)的壓縮量和后來(lái)的伸長(zhǎng)量的和；
（2）C與A碰撞的過(guò)程中，AC的動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒可以求得碰撞之后AC的共同的速度的大小，在碰撞之后的過(guò)程中，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒可以求得B剛要離開地面時(shí)AC離地面的高度的大小，當(dāng)C的質(zhì)量為

m

2

時(shí)，碰撞后AC的高度不能超過(guò)第一次是AC的高度的大小，由此可以求得C的最大的高度．

解答：解：（1）開始時(shí)，木塊A處于平衡，則kx₁=mg（彈簧壓縮）
木塊B剛好離開地面時(shí)，有kx₂=mg（彈簧伸長(zhǎng)）
故木塊A向上提起的高度為x₁+x₂=

2mg

k

，
（2）物塊C的質(zhì)量為m時(shí)，它自由下落H高度時(shí)的速度 v₁=

2gH

  ①
設(shè)C與A碰撞后的共同速度為v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有mv₁=mv₂，
則v₂=

v1

2

   ②
以后A、C繼續(xù)壓縮彈簧，后又向上彈起，最終能使木塊B剛好離開地面．
此過(guò)程中，A、C上升的高度為x₁+x₂=

2mg

k

，
由于最初彈簧的壓縮量x₁與最后的伸長(zhǎng)量x₂相等，所以，彈簧勢(shì)能相等，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有

1

2

×2mv₂²=2mg（x₁+x₂）  ③
物塊C的質(zhì)量為

m

2

時(shí)，設(shè)在距A高h(yuǎn)處自由下落后剛好能使木塊B離開地面．
則C下落h高度時(shí)的速度v₁′=

2gh

  ④
設(shè)C與A碰撞后的共同速度為v₂′．
則有

1

2

mv₁′=（m+

1

2

m）v₂′
解得v₂′=

1

3

v₁′⑤
A、C碰后上升高度（x₁+x₂）時(shí)，木塊B剛好離開地面，此過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律有

1

2

（m+

1

2

m）v₂′²=（m+

1

2

m）g（x₁+x₂） ⑥
由以上各式消去（x₁+x₂），
解得 h=

9

4

H．
答：（1）若用力將木塊A緩慢地豎直向上提起，木塊A向上提起多大高度為

2mg

k

；
（2）C開始下降的最大的高度為

9

4

H．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)量和能量相結(jié)合的題目，難度較大，在解決本題的時(shí)候要注意B剛要離開地面是指B的受力剛好為零的時(shí)刻，在第二問中，抓住B剛好離開地面這一個(gè)條件，也就是前后兩次在碰撞之后A離開地面的高度是相同的．