Question

5．火星是太陽系中最類似地球的行星，人類為了探索火星的奧秘已經向這顆紅色星球發(fā)送了許多探測器，其中有的已經登陸火星表面，有的圍繞火星飛行，已知一繞火星做勻速圓周運動的探測器軌道半徑為r，周期為T，若將火星視為質量分布均勻，半徑為R的球體，且忽略火星的自轉影響，萬有引力常量為G，求：
（1）火星的質量M；
（2）火星表面的重力加速度g；
（3）火星的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）探測器繞火星做勻速圓周運動，根據萬有引力等于向心力求出火星質量
（2）根據重力等于萬有引力求出火星表面的重力加速度
（3）火星的第一宇宙速度即火星的近地衛(wèi)星的運行速度

解答 解：（1）設火星的質量為M，探測器的質量為m，根據繞火星做勻速圓周運動，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$①
得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）設在火星表面上有質量為${m}_{1}^{\;}$的物體，有：
$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}g$②
由①②可得$g=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
（3）設質量為${m}_{2}^{\;}$的衛(wèi)星以第一宇宙速度繞火星做勻速圓周運動，有：
$G\frac{M{m}_{2}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$③
由①③式可得：$v=\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）火星的質量M為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）火星表面的重力加速度g為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$；
（3）火星的第一宇宙速度v為$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．