Question

5．火星是太陽系中最類似地球的行星，人類為了探索火星的奧秘已經(jīng)向這顆紅色星球發(fā)送了許多探測器，其中有的已經(jīng)登陸火星表面，有的圍繞火星飛行，已知一繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的探測器軌道半徑為r，周期為T，若將火星視為質(zhì)量分布均勻，半徑為R的球體，且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響，萬有引力常量為G，求：
（1）火星的質(zhì)量M；
（2）火星表面的重力加速度g；
（3）火星的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）探測器繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力等于向心力求出火星質(zhì)量
（2）根據(jù)重力等于萬有引力求出火星表面的重力加速度
（3）火星的第一宇宙速度即火星的近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度

解答 解：（1）設(shè)火星的質(zhì)量為M，探測器的質(zhì)量為m，根據(jù)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$①
得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）設(shè)在火星表面上有質(zhì)量為${m}_{1}^{\;}$的物體，有：
$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}g$②
由①②可得$g=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
（3）設(shè)質(zhì)量為${m}_{2}^{\;}$的衛(wèi)星以第一宇宙速度繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：
$G\frac{M{m}_{2}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$③
由①③式可得：$v=\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）火星的質(zhì)量M為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）火星表面的重力加速度g為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$；
（3）火星的第一宇宙速度v為$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．