Question

11．如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的圓盤上，沿半徑方向放置著用輕繩相連的質(zhì)量分別為2m，m的兩個小物體A，B（均可視為質(zhì)點），A離轉(zhuǎn)軸r₁=20cm，B離轉(zhuǎn)軸r₂=40cm，A、B與圓盤表面之間的動摩擦因數(shù)為0.4，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）輕繩上無張力時，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω的范圍？
（2）A、B與圓盤之間不發(fā)生相對滑動時，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω的最大值？
（3）A、B與圓盤之間剛好不發(fā)生相對滑動時，燒斷輕繩，則A、B將怎樣運動？

Answer 1

分析 （1）由題意可知當細線上沒有張力時，B與盤間的靜摩擦力沒有達到最大靜摩擦力，故由靜摩擦力充當向心力，由向心力公式可求得角速度；
（2）當A、B所受靜摩擦力均達到最大靜摩擦力時，圓盤的角速度達到最大值ω_m，超過ω_m時，A、B將相對圓盤滑動．分別對兩個物體，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式，即可求得最大角速度．
（3）根據(jù)離心的知識分析燒斷細線后A、B的運動情況．

解答 解：（1）當B所需向心力 F_B≤F_fmax時，細線上的張力為0，即：mω²r₂≤μmg，
解得：ω≤$\sqrt{\frac{μg}{{r}_{2}}}=\sqrt{\frac{0.4×10}{0.4}}=\sqrt{10}rad/s$
即當ω≤$\sqrt{10}rad/s$時，細線上不會有張力．
（2）當A、B所受靜摩擦力均達到最大靜摩擦力時，圓盤的角速度達到最大值ω_m，超過ω_m時，A、B將相對圓盤滑動．設細線中的張力為F_T．
根據(jù)牛頓第二定律得：
對A：2μmg-F_T=2mω_m²r₁
對B：μmg+F_T=mω_m²r₂，
得ω_m=$\sqrt{15}$ rad/s．
（3）燒斷細線時，A做圓周運動所需向心力F_A=2mω_m²r₁=0.6mg，又最大靜摩擦力為0.4mg，則A做離心運動．
B此時所需向心力F_B=mω_m²r₂=0.6mg，大于它的最大靜摩擦力0.4mg，因此B將做離心運動．
答：（1）若細線上沒有張力，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω應滿足的條件是ω≤3.7 rad/s．　
（2）欲使A、B與圓盤面間不發(fā)生相對滑動，則圓盤轉(zhuǎn)動的最大角速度為4.0 rad/s．　
（3）A都做離心運動．

點評 對于圓周運動動力學問題，分析受力情況，確定向心力由什么力提供是解題的關(guān)鍵．本題還要抓住物體剛要滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大值．