Question

5．如圖所示為一利用傳輸帶輸送貨物的裝置，物塊（視為質(zhì)點）自平臺經(jīng)斜面滑到一定恒定速度v運動的水平長傳輸帶上，再由傳輸帶輸送到遠處目的地．已知斜面高h=2.0m，水平邊長L=4.0m，傳輸寬度d=2.0m，傳輸帶的運動速度v=3.0m/s，物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.30，物塊自斜面頂端下滑的初速度為零．沿斜面下滑的速度方向與傳輸帶運動方向垂直．設(shè)物塊通過斜面與傳輸帶交界處時無動能損失，重力加速度g=10m/s²．
（1）為使物塊滑到傳輸帶上后不會從傳輸帶邊緣脫離，物塊與傳輸帶之間的動摩擦因數(shù)μ₂至少為多少？
（2）當(dāng)貨物的平均流量（單位時間里輸送的貨物質(zhì)量）穩(wěn)定在η=40kg/s時，求單位時間里物塊對傳輸帶所做的功W₁以及傳輸帶對物塊所做的功W₂．

Answer 1

分析 （1）計算出物體滑上傳輸帶時的速度，根據(jù)速度合成求了物塊相對于傳輸帶的速度，根據(jù)速度的合成求出合速度并根據(jù)所受摩擦力求出物體速度與傳輸帶相同的時相對傳輸帶的位移，根據(jù)位移的方向和傳輸帶的寬度求出動摩擦力的最小值，從而得出動摩擦因數(shù)；
（2）求出摩擦力大小，然后應(yīng)用功的計算公式求出物塊對傳送帶做功，應(yīng)用定能定理求出傳送帶對物塊做功．

解答 解：（1）令m表示物塊的質(zhì)量，物塊在斜面上滑動的加速度為：
a=$\frac{mgsinθ-{μ}_{1}mgcosθ}{m}$=gsinθ-μ₁cosθ
物塊在斜面上滑動距離為$\frac{h}{sinθ}$，
根據(jù)勻變速直線運動的速度位移關(guān)系，所以有：
v₀=$\sqrt{\frac{2ah}{sinθ}}$=$\sqrt{2gh（1-{μ}_{1}cotθ）}$=4.0m/s
以傳輸帶為參照系，物塊滑到傳輸帶的初速度大小為：v₀′=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}^{2}}$=5m/s，
運動方向與傳輸帶邊緣的夾角α滿足：
tanα=$\frac{4}{3}$
物塊在傳輸帶上作減速運動，其加速度大小為：a′=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g
當(dāng)物塊與傳輸帶相對靜止時在傳輸帶上運動的距離為：s′=$\frac{{v}{′}_{0}^{2}}{2a′}$=$\frac{v{′}_{0}^{2}}{2{μ}_{2}g}$，
物塊不超過傳輸帶寬的邊緣對應(yīng)的最小摩擦系數(shù)μ₂應(yīng)滿足：
s′sinα=$\frac{v{′}_{0}^{2}}{2{μ}_{2}g}$=d，解得：μ₂=0.5；
（2）傳送帶上與傳送帶間存在相對滑動的貨物質(zhì)量：m′=η•$\frac{{v}_{0}′}{{μ}_{2}g}$，
物塊對傳送帶的摩擦力大小：f=μ₂m′g=ηv₀′，
單位時間內(nèi)物塊對傳送帶做功：W₁=fvcos（π-α）=-ηv₀′vcosα=-ηv²=-360J，
單位時間內(nèi)傳送帶對物塊做功：W₂=$\frac{1}{2}$ηv²-$\frac{1}{2}$ηv₀²=-140J；
答：（1）為使物塊滑到傳輸帶上后不會從傳輸帶邊緣脫離，物塊與傳輸帶之間的動摩擦因數(shù)μ₂至少為0.5．
（2）單位時間里物塊對傳輸帶所做的功W₁以為-360J，傳輸帶對物塊所做的功W₂為-140J．

點評 本題是一道力學(xué)綜合題，難度較大，關(guān)鍵是能根據(jù)動力學(xué)計算求出滿足物體運動條件的受力情況從而得出動摩擦因數(shù)，應(yīng)用功的計算公式與動能定理可以解題．