Question

6．如圖所示為某木材廠的木材傳送裝置，斜坡傾角為θ=30°，長為L=20m，斜坡上緊排著一排輕質(zhì)滾筒，工作時由電動機帶動所有滾筒順時針勻速轉(zhuǎn)動，滾筒邊緣的線速度均為v=5m/s，現(xiàn)將一塊長為1=5m，質(zhì)量為m=20kg的木板輕輕放在輕質(zhì)滾筒上，其下端a位于斜坡底端，木板與滾筒間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，木板在滾筒帶動下由靜止開始沿斜坡向上移動．假設關(guān)閉電動機的瞬間所有滾筒立即停止轉(zhuǎn)動．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）木板從坡底開始運動，直到b端到達坡頂所需的最短時間；
（2）板從坡底開始運動，直到b端到達坡頂?shù)倪^程中電動機對滾筒做功的最小值．

Answer 1

分析 （1）欲使木板b端到達坡頂所需要的時間最短，需要電動機一直工作，則木板先做勻加速直線運動，當它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運動．由牛頓第二定律和運動學公式結(jié)合求解．
（2）先對木板加速和減速階段受力分析，求出加速度，再對恰好滑到最高點的臨界情況運用運動學公式和動能定理結(jié)合列式求解．

解答 解：（1）木料開始運動時做勻加速直線運動，由牛頓第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma₁ ②，
得：a₁=g（μcosθ-sinθ）=2.5 m/s²
木板做勻加速運動到速度與滾筒邊緣的線速度速度的時間：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{2.5}$s=2s
通過的位移：x₁=$\frac{v}{2}{t}_{1}$=$\frac{5}{2}×2$m=5m
要使b端到達坡頂所需要的時間最短，需要電動機一直工作，木板先做勻加速直線運動，當它的速度等于滾筒邊緣的線速度后做勻速直線運動．
木板做勻速直線運動的位移：x₂=L-l-x₁=20-5-5=10m
做勻速直線運動的時間：t₂=$\frac{{x}_{2}}{v}$=$\frac{10}{5}$s=2s
所需最短時間 t=t₁+t₂=4s；
（2）最后一段運動關(guān)閉發(fā)動機，木板勻減速上升：μmgcosθ+mgsinθ=ma₂，
代入數(shù)據(jù)得：a₂=g（μcosθ+sinθ）=12.5 m/s²，
勻減速運動時間：t₃=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{12.5}$s=0.4s
勻減速運動的位移：x₃=$\frac{1}{2}$vt₃=$\frac{1}{2}×$5×0.4m=1m
勻速運動的位移 x₂′=L-l-x₁-x₃=20-5-5-1=9m
由動能定理得：W_f-mg（x₁+x₂′）sinθ=$\frac{1}{2}$mv²；
代入數(shù)據(jù)求得；W_f=1650J
即電動機對滾筒做功的最小值是1650J．
答：
（1）木板從坡底開始運動，直到b端到達坡頂所需的最短時間是4s；
（2）板從坡底開始運動，直到b端到達坡頂?shù)倪^程中電動機對滾筒做功的最小值是1650J．

點評 本題關(guān)鍵是對木塊受力分析，判斷其運動情況，再根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，然后運用運動學公式列式研究．