Question

2．如圖所示為驗證機械能守恒定律的裝置，計時器周期為T．按正確操作得到紙帶后，以第一點為原點O，測得第二點的坐標x₂=2mm．其它各點坐標依次用x₃、x₄…x_n-1，x_n、x_n+1代表，g代表當地的重力加速度．請通過推算填寫：

（1）打第n點時，用上面的物理量表達重物增加的動能與減少的重力勢能之比為$\frac{（{x}_{n+1}-{x}_{n-1}）^{2}}{8g{T}^{2}{x}_{n}}$，
（2）在驗證運算中如果重物的速度通過v_n=gt計算，對于這樣做，下列判斷你認同的有BC
A．這種方法測量速度更簡便，可能誤差大一點，但是原理是正確的
B．重物下落的實際速度要比這個計算結果小
C．數據將會表現出動能的增加量大于勢能的減少量，這是錯誤的
D．如果重物下落的高度相應地用h=$\frac{1}{2}$gt²計算，這種方法更好．

Answer 1

分析 （1）本實驗是以自由落體運動為例來驗證機械能守恒定律，紙帶勻變速直線運動時，測得紙帶上的點間距，利用勻變速直線運動的推論，可計算出打出某點時紙帶運動的瞬時速度，從而求出動能．根據功能關系得重力勢能減小量等于重力做功的數值；若將重物由鐵質換成相同形狀的鋁質，阻力增大，導致損失的機械能更多；
（2）測紙帶上某點的速度時，不能通過v=gt測量，否則機械能守恒不需要驗證．應該根據某段時間內的平均速度等于中間時刻的瞬時速度求出瞬時速度的大小．

解答 解：（1）利用勻變速直線運動的推論：v_n=$\frac{{x}_{n+1}-{x}_{n-1}}{2T}$，
重物的動能：E_Kn=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$m（$\frac{{x}_{n+1}-{x}_{n-1}}{2T}$ ）²；
從開始下落至B點，重錘的重力勢能減少量：E_pn=mgh=mgx_n；
那么重物增加的動能與減少的重力勢能之比為$\frac{{E}_{kn}}{{E}_{pn}}$=$\frac{（{x}_{n+1}-{x}_{n-1}）^{2}}{8g{T}^{2}{x}_{n}}$；
若將重物由鐵質換成相同形狀的鋁質，則阻力會增大，導致增加的動能減小，那么這個比值將會減小；
（2）A、測紙帶上某點的速度時，不能通過v=gt測量，否則機械能守恒不需要驗證，故A錯誤；
B、在驗證運算中如果重物的速度通過v_n=gt計算，而實際速度存在阻力，導致其值小于計算值，故B正確；
C、若通過計算求得，則會出現動能的增加量等于勢能的減少量，不會出現數據將會表現出動能的增加量大于勢能的減少量，那么這是錯誤的，故C正確；
D、若重物下落的高度相應地用h=$\frac{1}{2}$gt²計算，純粹是理論推導，沒有實驗數據來驗證，這種方法不對，故D錯誤；
故答案為：（1）$\frac{（{x}_{n+1}-{x}_{n-1}）^{2}}{8g{T}^{2}{x}_{n}}$；（2）BC．

點評 紙帶問題的處理時力學實驗中常見的問題．我們可以紙帶法實驗中，若紙帶勻變速直線運動，測得紙帶上的點間距，利用勻變速直線運動的推論，可計算出打出某點時紙帶運動的瞬時速度；同時解決實驗問題首先要掌握該實驗原理，了解實驗的儀器、操作步驟和數據處理以及注意事項，清楚該實驗的誤差來源等．