Question

18．如圖所示，光滑絕緣的細(xì)圓管彎成半徑為R的半圓形，固定在豎直面內(nèi)，管口B、C的連線是水平直徑，現(xiàn)有一帶正電小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從B點(diǎn)正上方的A點(diǎn)自由下落，A、B兩點(diǎn)間距離為4R，從小球進(jìn)入管口開(kāi)始，整個(gè)空間中突然加上一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)力豎直向上的分力大小與重力大小相等，結(jié)果小球運(yùn)動(dòng)到管口C時(shí)對(duì)圓管的外壁壓力為3mg．設(shè)小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中帶電量沒(méi)有改變，重力加速度為g，求：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)的速度大�。�
（2）小球受到的電場(chǎng)力的大小和方向；
（3）小球從管口C處脫離圓管后，其運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)AB連線上某點(diǎn)P，P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；
（4）小球到達(dá)P點(diǎn)的速度的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球從A點(diǎn)自由下落過(guò)程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解B點(diǎn)的速度大�。�
（2）小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，由管壁的壓力和電場(chǎng)力的水平分力的合力提供向心力，列式求解小球在C點(diǎn)受到的電場(chǎng)力的水平分力，再由力的合成求解電場(chǎng)力．
（3）小球從管口C處脫離圓管后，根據(jù)牛頓第二定律求小球水平分加速度，再由分位移公式求解．
（4）小球從C到P過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解．

解答 解：（1）從A到B，由v_B²=2gh，h=4R   
則 v_B=2$\sqrt{2gR}$
（2）在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得
  3mg+F_x=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
從B到C，由動(dòng)能定理得：-F_x2R=$\frac{1}{2}$（m v_c²-m v_B²）                         
解得F_x=mg，v_c=2$\sqrt{gR}$                        
據(jù)題 F_y=mg
故電場(chǎng)力大小為 F=$\sqrt{2}$ mg，方向與水平成45°斜向左上方     
（3）從C運(yùn)動(dòng)到P過(guò)程，小球的水平分加速度 a_x=$\frac{{F}_{x}}{m}$=g                             
水平方向有：
  2R=$\frac{1}{2}$a_xt²                             
豎直方向有 y=v_ct
解得 y=4R                               
（4）根據(jù)動(dòng)能定理得：
  F_x•2R=$\frac{1}{2}$（m v_P²-m v_C²）                    
解得 v_P=2$\sqrt{2gR}$，方向與水平成45°斜向左上方．
答：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)的速度大小是2$\sqrt{2gR}$：
（2）小球受到的電場(chǎng)力的大小是$\sqrt{2}$ mg，方向與水平成45°斜向左上方；
（3）小球從管口C處脫離圓管后，其運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)AB連線上某點(diǎn)P，P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離是4R；
（4）小球到達(dá)P點(diǎn)的速度的大小2$\sqrt{2gR}$，方向與水平成45°斜向左上方．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵運(yùn)用正交分解法，將小球的運(yùn)動(dòng)沿水平方向和豎直方向正交分解，然后運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和動(dòng)能定理列式解答．