Question

8．如圖所示，半徑為R=0.2m，光滑絕緣的$\frac{1}{4}$圓弧軌道固定在光滑水平地面上．軌道末端水平，緊靠軌道末端有一等高的絕緣平板小車(chē)，小車(chē)表面水平，車(chē)長(zhǎng)L=1m，質(zhì)量為2M，車(chē)子右端與豎直絕緣擋板的距離為s=1.0m．軌道末端右側(cè)空間存在水平向右、大小為E=$\frac{3μMg}{q}$的勻強(qiáng)電場(chǎng)．質(zhì)量為M=1kg、不帶電的滑塊B靜止在小車(chē)的左端．質(zhì)量也為M、帶電荷量為q的滑塊A（A、B均可看作質(zhì)點(diǎn)，圖中A未畫(huà)出），從軌道上的某一點(diǎn)由靜止釋放，通過(guò)軌道末端N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為A重力的3倍，與滑塊B碰撞后粘合在一起，碰撞過(guò)程中無(wú)電荷量損失．A、B滑塊與平板車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，車(chē)與擋板碰后立即被鎖定．A、B粘合后與擋板碰撞過(guò)程中無(wú)能量損失，且不計(jì)電荷量損失．（g=10m/s²）求：
（1）滑塊A釋放時(shí)距離N點(diǎn)的高度；
（2）車(chē)與擋板相碰前摩擦產(chǎn)生的熱量；
（3）車(chē)與擋板碰撞后，A、B滑塊經(jīng)過(guò)的路程．

Answer 1

分析 （1）對(duì)A，由牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律可以求出高度．
（2）A、B碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律求出滑塊的速度，然后應(yīng)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出位移，最后由功是計(jì)算公式求出產(chǎn)生的熱量．
（3）應(yīng)用能量守恒定律可以求出滑塊的路程．

解答 解：（1）設(shè)滑塊A到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速度為v₁，
根據(jù)牛頓第二定律得：3Mg-Mg=M$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$   ①
從開(kāi)始釋放到運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：Mgh=$\frac{1}{2}$Mv₁²  ②
聯(lián)立①②式得，h=R=0.2m；
（2）A、B在N點(diǎn)的碰撞過(guò)程滿(mǎn)足動(dòng)量守恒定律，設(shè)碰后AB速度為v₂，
以A的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：Mv₁=2Mv₂ ③
小車(chē)與擋板碰撞前，AB加速度為：a₁=$\frac{qE-2μMg}{2M}$=1 m/s² ④
小車(chē)的加速度為a₂=μg=2 m/s² ⑤
設(shè)小車(chē)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷時(shí)間t與AB速度相等，有：v₂+a₁t=a₂t ⑥
聯(lián)立得t=1 s，此時(shí)速度為v=2 m/s，
1s時(shí)間內(nèi)小車(chē)的位移為：s₁=$\frac{1}{2}$a₂t²=1m  ⑦
滑塊的位移為：s₂=v₂t+$\frac{1}{2}$a₁t²=1.5m  ⑧
滑塊相對(duì)于小車(chē)的位移：△s=s₂-s₁=0.5m  ⑨
此時(shí)滑塊距擋板s′=0.5 m，故產(chǎn)生熱量為：Q=2μMg△s=2J  ⑩
（3）設(shè)滑塊第一次碰撞后能滑至小車(chē)左端，且設(shè)擋板處的電勢(shì)能為零，
則第一次AB與擋板碰撞后的動(dòng)能：E_k=$\frac{1}{2}$（2M）v²+Eqs′-2μMgs′⑪
滑塊從擋板滑至左端需要的最小能量E_min=2μMgL+EqL⑫
解得：E_k＜E_min ⑬故滑塊不會(huì)從左端滑出，
由能量守恒得：$\frac{1}{2}$（2M）v²+Eqs′=2μMgs_路+Eq（s_路-s′）⑭
代入數(shù)據(jù)解得：s_路=1 m．
答：（1）滑塊A釋放時(shí)距離N點(diǎn)的高度為0.2m；
（2）車(chē)與擋板相碰前摩擦產(chǎn)生的熱量為2J；
（3）車(chē)與擋板碰撞后，A、B滑塊經(jīng)過(guò)的路程為1m．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律可以解題．