Question

6．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的坐標(biāo)系xOy，在其第三象限空間有正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)沿水平方向且垂直于紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，勻強(qiáng)電場(chǎng)沿x輸負(fù)方向、場(chǎng)強(qiáng)大小為E．在其第一象限空間有沿y軸負(fù)方向的、場(chǎng)強(qiáng)大小為$E'=\frac{4}{3}E$的勻強(qiáng)電場(chǎng)．個(gè)電荷量的絕對(duì)值為q的油滴從圖中第三象限的P點(diǎn)得到一初速度，恰好能沿PO做直線運(yùn)動(dòng)（PO與x軸負(fù)方向的夾角為θ=37°），并從原點(diǎn)O進(jìn)人第一象限．已知重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計(jì)空氣阻力．
（1）判斷油滴的電性；
（2）求油滴在P點(diǎn)得到的初速度大小．
（3）在第一象限的某個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域再加上一個(gè)垂直于紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且該長(zhǎng)方形區(qū)域的下邊界在x軸上，上述油滴進(jìn)入第一象限后恰好垂直穿過(guò)x軸離開(kāi)第一象限，求這個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的最小面積以及油滴在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）油滴在第3象限做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力、電場(chǎng)力、洛倫茲力三力方向，油滴受力平衡可判定油滴帶負(fù)電；
（2）根據(jù)受力分析，結(jié)合平衡條件，依據(jù)力的平行四邊形定則，從而解得速度；
（3）根據(jù)油滴先作勻速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與幾何知識(shí)畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，從而求出個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的最小面積，再分段求解時(shí)間．

解答 解：（1）如果油滴帶正電荷，受力分析如圖一所示．因?yàn)橐�保證垂直速度方向合力為零，油滴一定做減速運(yùn)動(dòng)，這時(shí)洛侖茲力在變化，導(dǎo)致垂直速度方向的力發(fā)生變化，油滴不可能做直線運(yùn)動(dòng)，即油滴不僅垂直速度方向合力為零，沿速度方向合力也為零；如果油滴帶負(fù)電荷，如圖二，則能滿足以上分析，所以油滴一定帶負(fù)電．
（2）油滴受三個(gè)力作用（見(jiàn)圖二），從P到O沿直線必為勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)油滴質(zhì)量為m：
根據(jù)平衡條件有：qvBsin37°=qE
mgtan37°=qE
綜合前兩式，得：
$v=\frac{5E}{3B}$…①
$m=\frac{4qE}{3g}$…②
（3）進(jìn)入第一象限，由電場(chǎng)力$qE′=\frac{4}{3}qE$和重力$mg=\frac{4}{3}qE$相等，知油滴先作勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，路徑如三圖，最后從x軸上的N點(diǎn)離開(kāi)第一象限，圖中紅色長(zhǎng)方形區(qū)域?yàn)閯驈?qiáng)磁場(chǎng)最小面積；設(shè)油滴在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間包括直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁和圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂．
帶電油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)滿足：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$…③
有①②③解得：$R=\frac{20{E}^{2}}{9g{B}^{2}}$
勻強(qiáng)磁場(chǎng)最小面積：s=R×（R+Rsinθ）=1.6R²=$\frac{640{E}^{4}}{81{g}^{2}{B}^{4}}$
油滴在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間包括直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=$\frac{R}{vtanθ}$=$\frac{16E}{9gB}$
油滴在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=$\frac{90°+37°}{360°}T$=$\frac{127}{360}×\frac{2πR}{v}$=$\frac{127πE}{135gB}$
油滴在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{（240+127π）E}{135gB}$
答：（1）油滴帶負(fù)電；
（2）油滴在P點(diǎn)得到的初速度大小$v=\frac{5E}{3B}$．
（3）這個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的最小面積為$\frac{640{E}^{4}}{81{g}^{2}{B}^{4}}$，油滴在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{（240+127π）E}{135gB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是先確定物體的運(yùn)動(dòng)情況，并畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后逐段逐段分析；勻速運(yùn)動(dòng)階段受力平衡，勻速圓周運(yùn)動(dòng)階段洛倫茲力提供向心力．