Question

16．在某星球上，宇航員做了一個實驗：讓質(zhì)量為m=1.0kg的小滑塊以v₀=6m/s的初速度從傾角為θ=53°的斜面AB的頂點A滑下，到達B點后與垂直斜面的擋板碰撞，不計碰撞時的機械能損失．滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，測得A點離B點所在水平面的高度為h=3m，最終物塊在斜面上通過的路程s=20m．已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，不計該星球的自轉(zhuǎn)以及其他星球?qū)λ�的作用�?br />（1）求該星球表面的重力加速度g；
（2）若測得該星球的半徑為R=6×10⁶m，則該星球的第一宇宙速度為多大？
（3）取地球半徑R₀=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g₀=10m/s²，求該星球的平均密度與地球的平均密度之比$\frac{ρ}{ρ_0}$．

Answer 1

分析 （1）小滑塊從A到C的過程中，對滑塊進行受力分析和做功分析，根據(jù)動能定理列方程求得重力加速度；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力、重力等于萬有引力列式，求解探測器的最大速度．
（3）根據(jù)密度公式和黃金代換式GM=gR²，求解星球的平均密度與地球的平均密度之比．

解答 解：（1）小滑塊從A到C的過程中，由動能定理得：
mg（h₁-h₂）-μmgcos53°$•\frac{{h}_{1}}{sin53°}$-μmgcos37°$•\frac{{h}_{2}}{sin37°}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代人數(shù)據(jù)解得：g=6m/s²
（2）設(shè)探測器質(zhì)量為m′，探測器繞該星球表面做勻速圓周運動時運行最大速度，由牛頓第二定律和萬有引力得：
G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m$′\frac{{v}^{2}}{R}$ 
又G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
解得：v=$\sqrt{gR}$
代人數(shù)據(jù)解得：v=6km/s
（3）由星球密度ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$和GM=gR²得該星球的平均密度與地球的平均密度之比$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$=$\frac{g{R}_{0}}{{g}_{0}R}$．
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$=0.64．
答：
（1）該星球表面的重力加速度g為6m/s²；
（2）則探測器運行的最大速度為6km/s．
（3）該星球的平均密度與地球的平均密度之比$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$為0.64

點評 本題考查萬有引力定律的應(yīng)用；要注意明確萬有引力應(yīng)用主要從萬有引力提供圓周運動的向心力和星球表面重力和萬有引力相等兩方面入手分析．