Question

7．如圖所示，O、M、N為豎直放置的光滑細(xì)桿上的三個(gè)點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)與O點(diǎn)處于同一水平線上，且OM=ON=OA=OB=0.4m．質(zhì)量為m=0.3kg的圓環(huán)穿在細(xì)桿上，兩根完全相同、原長(zhǎng)均為L(zhǎng)=0.4m的輕質(zhì)彈簧，一端與圓環(huán)相連，另一端分別固定在A、B兩點(diǎn)．現(xiàn)將圓環(huán)沿桿拉至M點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)圓環(huán)下滑到P點(diǎn)時(shí)速度最大，已知OP=0.3m，整個(gè)過程中彈簧都在彈性限度內(nèi)，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k；
（2）圓環(huán)經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的速率v和加速度a的大小．

Answer 1

分析 （1）圓環(huán)經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度最大，此時(shí)圓環(huán)所受的合力為零．根據(jù)平衡條件和胡克定律結(jié)合求解；
（2）N與M關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱性，可知彈簧在這兩個(gè)位置時(shí)彈性勢(shì)能相等，從M到N，彈力對(duì)圓環(huán)做功為0，由動(dòng)能定理求圓環(huán)經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度．

解答 解：（1）圓環(huán)經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度最大，此時(shí)圓環(huán)所受的合力為0，設(shè)輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k，此時(shí)彈簧的彈力為F，彈簧的伸長(zhǎng)量為△x，彈簧與豎直方向夾角為θ，
在P點(diǎn)豎直方向上由力的平衡可得：2Fcosθ=mg
由幾何關(guān)系得：△x=$\frac{OP}{cosθ}$-L；cosθ=$\frac{0.3}{0.5}$=0.6
聯(lián)立解得：k=$\frac{F}{△x}$=25N/m．
（2）圓環(huán)從M點(diǎn)到N點(diǎn)的過程中，彈力做功為0，設(shè)圓環(huán)經(jīng)過N點(diǎn)的瞬時(shí)速度為v，
由動(dòng)能定理可得：mg（OM+ON）=$\frac{1}{2}$mv²
即：10×（0.4+0.4）=$\frac{1}{2}$×v²
解得：v=4.0m/s
由牛頓第二定律得：2k△x′cos450-mg=ma
△x′=$\frac{OP}{cos4{5}^{0}}$-L=0.4（$\sqrt{2}$-1）
解得：a=$\frac{10×（2-\sqrt{2}）}{0.3}$-g=$\frac{17-10\sqrt{2}}{0.3}$m/s²．
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)為25N/m；
（2）圓環(huán)經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的速率為4.0m/s；加速度a的大小為=$\frac{17-10\sqrt{2}}{0.3}$m/s²．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)物理過程進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)過程分析是解決力學(xué)問題的根本方法．本題關(guān)鍵要抓住隱含的相等條件和速度最大的臨界條件，運(yùn)用動(dòng)能定理、平衡條件進(jìn)行研究．