Question

10．如圖所示，空間中分別沿水平、豎直方向建立xOy坐標(biāo)系．用某種方式將空間分隔成若干個(gè)等高區(qū)域，各區(qū)域高度d=0.2m，從上到下依次記為第1區(qū)域、第2區(qū)域…．各偶數(shù)區(qū)域內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=5N/C，磁感強(qiáng)度B=1T；奇數(shù)區(qū)域內(nèi)既無電場(chǎng)又無磁場(chǎng)．一個(gè)比荷$\frac{q}{m}$=2C/kg的帶正電粒子從O點(diǎn)自由下落，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²，sin11.54°=0.2．求：
（1）粒子剛進(jìn)入第2區(qū)域的速度及通過第2區(qū)域所用的時(shí)間t；
（2）粒子穿過任意區(qū)域前后，水平速度的變化量△v_x；
（3）粒子最多能到達(dá)第幾區(qū)域？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)速度與位移規(guī)律，即可求解速度，再依據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可知，電場(chǎng)力與重力的關(guān)系，再結(jié)合洛倫茲力提供向心力，及幾何關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)水平方向不受力，則水平方向的速度不變，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的線速度公式，從而求解；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合粒子在最低點(diǎn)時(shí)速度方向水平，進(jìn)而即可求解．

解答 解：（1）如圖所示，設(shè)帶電粒子從O點(diǎn)自由下落，剛進(jìn)入第2區(qū)域時(shí)速度為v，由自由落體運(yùn)動(dòng)有：
v²=2gd
解得：v=2m/s
粒子在第2區(qū)域，由于qE=mg，所以粒子在該區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)軌道半徑為r，在第一個(gè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)偏轉(zhuǎn)的角度為θ，則有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$

sinθ=$\fracvtrd3x3{r}$
T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
t=$\frac{θ}{360°}T$
代入數(shù)據(jù)解得：t=0.1s
（2）①粒子在各奇數(shù)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平方向不受力，

故在水平方向的速度不變，即△v_x=0
②粒子在任意偶數(shù)區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其半徑為r，再設(shè)粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域時(shí)速度大小為v，與水平方向夾角為α，離開時(shí)與水平方向夾角為β，則
△v_y=vcosβ-vcosα
又因?yàn)関=$\frac{qBr}{m}$
得$△{v}_{x}=\frac{qB}{m}（rcosβ-rcosα）$=$\frac{qBd}{m}$=0.4m/s
（3）粒子若能進(jìn)入奇數(shù)區(qū)域則必然能從中射出．設(shè)它恰好不能從第2n個(gè)區(qū)域內(nèi)射出，它在該區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為v，對(duì)粒子的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程由動(dòng)能定理，有：
mgd=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
粒子在最低點(diǎn)時(shí)速度方向水平，即有：v=v_x=n•△v_x=0.4n；
則代入上式解得：n=25
故粒子不能穿過第50個(gè)區(qū)域．
答：（1）粒子剛進(jìn)入第2區(qū)域的速度2m/s及通過第2區(qū)域所用的時(shí)間0.1s；
（2）粒子穿過任意區(qū)域前后，水平速度的變化量0.4m/s；
（3）粒子最多能到達(dá)第25區(qū)域．

點(diǎn)評(píng) 考查自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，掌握由運(yùn)動(dòng)性質(zhì)來判定力之間的關(guān)系，并理解幾何關(guān)系的應(yīng)用，注意第二問，水平方向不受力，即水平方向速度不變，還有第三問，粒子在最低點(diǎn)時(shí)速度方向水平是解題的關(guān)鍵．