Question

5．如圖，在真空中豎直平面內同時存在多層厚度為d，足夠寬的正交復合場，勻強電場的電場強度大小為E，勻強磁場的磁感應強度大小為B，相鄰復合場區(qū)域的間距也為d．將可看做質點、質量為m、帶正電荷量為q的小球從靜止開始下落，下落高度為d后進入復合場，已知mg=qE，重力加速度大小為g，不計粒子運動時的電磁輻射．
（1）求小球在第1層復合場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑r₁；
（2）求小球到達第2個復合場區(qū)域時速度方向與豎直方向夾角的正弦值；
（3）若空間存在有n層復合場，小球不能從復合場下邊界穿出，求n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒定律，結合洛倫茲力提供向心力，即可求解；
（2）根據(jù)運動的合成與分解，結合動能定理，及幾何關系，即可求解；
（3）根據(jù)幾何關系得r_nsinθ_n-r_nsinα_n=d，同理r_n-1sinθ_n-1-r_n-2sinα_n-2=d，再結合動能定理，及洛倫茲力提供向心力，即可求解．

解答 解：（1）小球進入第1層復合場前，只有重力做功，由機械能守恒定律得：
mgd=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…①
在復合場中小球受重力與電場力相等，洛侖茲力提供圓周運動向心力，有：

Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$…②
聯(lián)立解得：r₁=$\frac{m}{Bq}\sqrt{2gd}$…③
（2）設從第1層復合場穿出時速度與豎直方向夾角為θ₁，水平速度為v_1x；
由幾何關系得：sinθ₁=$\fracma7l232{{r}_{1}}$…④
v_1x=v₁sinθ₁…⑤
設從第2層復合場進入時速度與豎直方向夾角為α₂，
根據(jù)動能定理有：mg•3d-qEd=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…⑥
小球在重力場中運動時，垂直于重力方向的速度分量不變

v₂sinα₂=v1sinθ₁…⑦
聯(lián)立解得：sinα₂=$\frac{Bq}{2mg}\sqrt{gd}$…⑧
（3）設從第n層復合場進入時速度與豎直方向夾角為α_n，從第n層復合場穿出時速度與豎直方向夾角為θ_n，
由幾何關系得：r_nsinθ_n-r_nsinα_n=d…⑨
小球在重力場中運動時，垂直于重力方向的速度分量不變，則有：

v_nsinα_n=v_n-1 sinθ _n-1…⑩
聯(lián)立⑨⑩得r_nsinθ_n-r_n-1sinθ_n-1=d                     
同理r_n-1sinθ_n-1-r_n-2sinα_n-2=d                     
聯(lián)立解得 r_nsinθ_n=nd                                  
根據(jù)動能定理有：mg（2n-1）d-qE（n-1）d=$\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}$        
在第n層復合場中小球受重力與電場力相等，洛侖茲力提供圓周運動向心力，有：
Bqv_n=m$\frac{{v}_{n}^{2}}{{r}_{n}}$                                        
若小球不能從復合場下邊界穿出，則：
${θ}_{n}=\frac{π}{2}$，sinθ_n=1
聯(lián)立解得：n=$\frac{2{m}^{2}g}{{B}^{2}{q}^{2}d}$
答：（1）小球在第1層復合場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑$\frac{m}{Bq}\sqrt{2gd}$；
（2）小球到達第2個復合場區(qū)域時速度方向與豎直方向夾角的正弦值$\frac{Bq}{2mg}\sqrt{gd}$；
（3）若空間存在有n層復合場，小球不能從復合場下邊界穿出，n的最小值$\frac{2{m}^{2}g}{{B}^{2}{q}^{2}d}$．

點評 考查運動的合成與分解，掌握動能定理與機械能守恒定律的內容，理解幾何關系r_nsinθ_n-r_nsinα_n=d的運用，同時掌握牛頓第二定律的內容，及知道洛倫茲力提供向心力的公式，注意畫出運動軌跡圖．