Question

8．如圖所示，地球球心為O，半徑為R，表面的重力加速度為g．一宇宙飛船繞地球無動(dòng)力飛行且沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，軌道上P點(diǎn)距地心最遠(yuǎn)，距離為3R，則（　�。�

• A． 飛船在P點(diǎn)的加速度一定是$\frac{g}{9}$
• B． 飛船經(jīng)過P點(diǎn)的速度一定是 $\sqrt{\frac{gR}{3}}$
• C． 飛船經(jīng)過P點(diǎn)的速度大于$\sqrt{\frac{gR}{3}}$
• D． 飛船經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)，對(duì)準(zhǔn)地心彈射出的物體一定沿PO直線落向地面

Answer 1

分析 飛船在P點(diǎn)的加速度即為萬有引力加速度，根據(jù)萬有引力加速度的表達(dá)式可知加速度的大小與距球心的距離平方成反比，從而求出P點(diǎn)的加速度與地球表面重力加速的大小關(guān)系；根據(jù)橢圓軌道上衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)從遠(yuǎn)地點(diǎn)開始將做近心運(yùn)動(dòng)，滿足萬有引力大于運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，從而確定線速度的大小關(guān)系．

解答 解：A、在地球表面重力加速度與萬有引力加速度相等，根據(jù)牛頓第二定律有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$，
得加速度為：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
所以在地球表面有：$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$
P點(diǎn)的加速度為：${a}_{p}=\frac{GM}{{r}^{2}}=\frac{GM}{（{3R）}^{2}}=\frac{1}{9}\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{1}{9}g$
故A正確；
BC、在橢圓軌道上飛船從P點(diǎn)開始將做近心運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滿足萬有引力大于P點(diǎn)所需向心力即：$m{a}_{p}＞m\frac{{{v}_{p}}^{2}}{3R}$
如果飛船在P點(diǎn)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足：$m{a}_{p}=m\frac{{{v}_{p}}^{2}}{3R}$
解得：$v=\sqrt{3R{a}_{p}}$=$\sqrt{3R×\frac{1}{9}g}$=$\sqrt{\frac{gR}{3}}$
由此分析知：v_p＜$\sqrt{\frac{gR}{3}}$，故B錯(cuò)誤、C錯(cuò)誤．
D、從繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星上對(duì)準(zhǔn)地心彈射一物體，物體相對(duì)衛(wèi)星的速度方向是指向地心，但物體相對(duì)地球的速度方向則偏離地心．所以，該物體在地球的萬有引力作用下，將繞地球做軌跡為橢圓的曲線運(yùn)動(dòng)，地球在其中一個(gè)焦點(diǎn)．故D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能熟練運(yùn)用．