Question

4．如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓細管豎立放置，兩個質量均為m的小球A、B（小球直徑略小于細管直徑），以不同的速率沿光滑水平面運動后進入管內，若A球通過圓周最高點C時恰好對管壁沒有作用力，B球通過圓周最高點C時，對管壁的作用力為0.75mg．求：
（1）A球到達圓周最高點C時的速度大小
（2）A球剛開始在水平面運動時的速度大�。�
（3）A、B球第一次落到水平面地面后，它們間的水平距離．

Answer 1

分析 （1）A球通過圓周最高點時由重力提供向心力，由牛頓第二定律求其在最高點的速度．
（2）A在半圓形管道內運動的過程中，機械能守恒，據此列式可求得A球剛開始在水平面運動時的速度．
（3）B球通過最高點時，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出B球通過最高點的速度．兩個小球離開C點后都做平拋運動，利用平拋運動的知識即可求得A、B兩球落地點間的距離．

解答 解：（1）設A球到達圓周最高點C時的速度大小為v_A．
根據牛頓第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$ …①
解得 v_A=$\sqrt{gR}$…②
（2）設A球剛開始在水平面運動時的速度大小為v′_A，小球A從水平面到達最高點的過程中，由機械能守恒得：
$\frac{1}{2}mv'_A^2=mg•2R+\frac{1}{2}mv_A^2$…③
解得：${v'_A}=\sqrt{5gR}$…④
（3）設B球到達圓周最高點C時的速度大小為v_B，小球A、B離開軌道最高點后都做平拋運動，則有：
 S=v•t，$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$…⑤
可得A球的水平位移大小為：${S_A}={v_A}\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
B球的水平位移大小為：${S_B}={v_B}\sqrt{\frac{4R}{g}}$…⑥
情況一：當小球B在最高點受到管壁內側的作用為N=0.75mg時，
由牛頓第二定律可得：$mg-N=m\frac{v_B^2}{R}$…⑦
A、B球第一次落到水平面地面后，它們間的水平距離為：△S=S_A-S_B…⑧
聯(lián)立②⑥⑦⑧解得：△S=R
情況二：當小球B在最高點受到管壁外側的作用為N=0.75mg時，
由牛頓第二定律可得：$mg+N=m\frac{v_B^2}{R}$…⑨
A、B球第一次落到水平面地面后，它們間的水平距離為：△S=S_B-S_A …⑩
聯(lián)立②⑥⑨⑩解得：$△S=\sqrt{7}R-2R$
答：
（1）A球到達圓周最高點C時的速度大小為$\sqrt{gR}$．
（2）A球剛開始在水平面運動時的速度大小為$\sqrt{5gR}$．
（3）A、B球第一次落到水平面地面后，它們間的水平距離為R或$\sqrt{7}$R-2R．

點評 本題管子與輕桿模型類似，在最高點，管子對球的作用力可能向上，也可能向下，對第3小題，在作用力方向未知的情況下，要分情況討論，不能漏解．