Question

4．如圖所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓細(xì)管豎立放置，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B（小球直徑略小于細(xì)管直徑），以不同的速率沿光滑水平面運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入管內(nèi)，若A球通過圓周最高點(diǎn)C時(shí)恰好對(duì)管壁沒有作用力，B球通過圓周最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)管壁的作用力為0.75mg．求：
（1）A球到達(dá)圓周最高點(diǎn)C時(shí)的速度大小
（2）A球剛開始在水平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小．
（3）A、B球第一次落到水平面地面后，它們間的水平距離．

Answer 1

分析 （1）A球通過圓周最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力，由牛頓第二定律求其在最高點(diǎn)的速度．
（2）A在半圓形管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中，機(jī)械能守恒，據(jù)此列式可求得A球剛開始在水平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度．
（3）B球通過最高點(diǎn)時(shí)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出B球通過最高點(diǎn)的速度．兩個(gè)小球離開C點(diǎn)后都做平拋運(yùn)動(dòng)，利用平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)即可求得A、B兩球落地點(diǎn)間的距離．

解答 解：（1）設(shè)A球到達(dá)圓周最高點(diǎn)C時(shí)的速度大小為v_A．
根據(jù)牛頓第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$ …①
解得 v_A=$\sqrt{gR}$…②
（2）設(shè)A球剛開始在水平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為v′_A，小球A從水平面到達(dá)最高點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}mv'_A^2=mg•2R+\frac{1}{2}mv_A^2$…③
解得：${v'_A}=\sqrt{5gR}$…④
（3）設(shè)B球到達(dá)圓周最高點(diǎn)C時(shí)的速度大小為v_B，小球A、B離開軌道最高點(diǎn)后都做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
 S=v•t，$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$…⑤
可得A球的水平位移大小為：${S_A}={v_A}\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
B球的水平位移大小為：${S_B}={v_B}\sqrt{\frac{4R}{g}}$…⑥
情況一：當(dāng)小球B在最高點(diǎn)受到管壁內(nèi)側(cè)的作用為N=0.75mg時(shí)，
由牛頓第二定律可得：$mg-N=m\frac{v_B^2}{R}$…⑦
A、B球第一次落到水平面地面后，它們間的水平距離為：△S=S_A-S_B…⑧
聯(lián)立②⑥⑦⑧解得：△S=R
情況二：當(dāng)小球B在最高點(diǎn)受到管壁外側(cè)的作用為N=0.75mg時(shí)，
由牛頓第二定律可得：$mg+N=m\frac{v_B^2}{R}$…⑨
A、B球第一次落到水平面地面后，它們間的水平距離為：△S=S_B-S_A …⑩
聯(lián)立②⑥⑨⑩解得：$△S=\sqrt{7}R-2R$
答：
（1）A球到達(dá)圓周最高點(diǎn)C時(shí)的速度大小為$\sqrt{gR}$．
（2）A球剛開始在水平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為$\sqrt{5gR}$．
（3）A、B球第一次落到水平面地面后，它們間的水平距離為R或$\sqrt{7}$R-2R．

點(diǎn)評(píng) 本題管子與輕桿模型類似，在最高點(diǎn)，管子對(duì)球的作用力可能向上，也可能向下，對(duì)第3小題，在作用力方向未知的情況下，要分情況討論，不能漏解．