Question

17．如圖甲所示，傾角θ為37°的傳遞帶以恒定速度逆時針運行，現將一質量m=2kg的小物體輕輕放上傳送帶的A端，物體相對地面的速度隨時間變化的關系如圖乙，2s末物體到達B端，取沿傳送帶向下為正方向，g=10m/s²，sin37°=0.6，求：

（1）小物體在傳送帶A、B間的平均速度v；
（2）物體與傳送帶間的動摩擦因數μ；
（3）2s內物體機械能的變化量△E及因與傳送帶摩擦產生的內能Q．

Answer 1

分析 （1）物塊輕放上傳送帶，開始所受的摩擦力沿斜面向下，當速度相等后，摩擦力沿傳送帶向上，從A到B做加速度不同的勻加速直線運動，根據速度時間圖線與時間軸之間的面積求出位移，然后由：$\overline{v}=\frac{l}{t}$求出平均速度；
（2）求出0-1s內的加速度，從而得出合力的大小，求出速度相等后的加速度，結合牛頓第二定律求出動摩擦因數的大�。�
（3）分別求出物體與傳送帶0-2s內的位移，由機械能的定義即可求出機械能的變化；求出相對運動的路程大小，最后求出摩擦產生的熱量．

解答 解：（1）由v-t圖象的面積規(guī)律可知傳送帶A、B間的距離L即為v-t圖線與t軸所圍的面積，所以：
$L=\frac{{v}_{1}}{t}•{t}_{1}+\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{2}$，
代入數值得：L=16m
由平均速度的定義得：$v=\frac{L}{t}=\frac{16}{2}=8$m/s  
（2）由v-t圖象可知傳送代運行速度為v₁=10m/s，0-1s內物體的加速度為：${a}_{1}=\frac{△v}{△t}=\frac{10}{1}m/{s}^{2}=10m/{s}^{2}$，
則物體所受的合力為：F_合=ma₁=2×10N=20N．
1-2s內的加速度為：${a}_{2}=\frac{2}{1}=2m/{s}^{2}$，
根據牛頓第二定律得：${a}_{1}=\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=gsinθ+μgcosθ，
${a}_{2}=\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=gsinθ-μgcosθ
聯立兩式解得：μ=0.5，θ=37°．
（3）0-1s內，物塊的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×10×1m=5m$，
傳送帶的位移為：x₂=vt₁=10×1m=10m
則相對位移的大小為：△x₁=x₂-x₁=5m，
則1-2s內，物塊的位移為：${x}_{3}=v{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$=$10×1+\frac{1}{2}×2×1m=11m$，
0-2s內物塊向下的位移：L=x₁+x₃=5+11=16m
物塊下降的高度：h=Lsin37°=16×0.6=9.6m
物塊機械能的變化量：$△E=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-mgh$=$\frac{1}{2}×2×1{2}^{2}-2×10×9.6$=-48J
負號表示機械能減�。�
1-2s內傳送帶的位移為：x₄=vt₂=10m，
則物塊相對位移的大小為：△x₂=x₃-x₄=1m，
所以相對路程的大小為：△s=△x₁+△x₂=6m，
摩擦產生的熱量為：Q=μmgcosθ•△s=0.5×20×0.8×6J=48J．
答：（1）0～1s內物體所受的合外力大小為20N；
（2）小物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為0.5；
（3）在0～2s內物塊的機械能減小48J，由于小物塊與皮帶間的摩擦所產生的熱量為48J．

點評 該題考查傳送帶問題，解決本題的關鍵理清物塊在傳送帶上的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律、功能關系和運動學公式綜合求解．