Question

14．經(jīng)過探測月球質量是地球質量的$\frac{1}{a}$，月球的半徑是地球華半徑的$\frac{1}$．假設月球上空高h處有一質量為m₁的物體自由下落．它落到月球表面所需要的時間是t₁．在地球上空高H=ch處有一質量為m₂的物體自由下落，它落到地球表面所需要的時間是t₂．則下列說法正確的是（　�。�

• A． 月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比v₁：v₂=$\sqrt$：$\sqrt{a}$
• B． 月球表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比為g_月：g_地=b²：a
• C． 物體落到月球表面與落到地球面所需要的時間之比為t₁：t₂=b²：a；
• D． 月球的密度與地球的密度之比為ρ₁：ρ₂=$\sqrt{a}$：b$\sqrt{c}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力得出第一宇宙速度公式，再求其比值；先根據(jù)星球表面重力等于萬有引力求解重力加速度表達式，得到重力加速度之比；然后根據(jù)自由落體的位移時間關系公式物體落到月球與地球表面的時間之比；根據(jù)密度公式求出月球和地球的密度之比

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，月球的第一宇宙速度${v}_{月}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{月}^{\;}}{{R}_{月}^{\;}}}$，地球的第一宇宙速度${v}_{地}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}$，$\frac{{v}_{月}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{月}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{月}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{a}×\frac{1}}=\frac{\sqrt}{\sqrt{a}}$，即月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比v₁：v₂=$\sqrt$：$\sqrt{a}$，故A正確；
B、根據(jù)重力等于萬有引力，有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$，月球表面的重力加速度${g}_{月}^{\;}=G\frac{{M}_{月}^{\;}}{{R}_{月}^{2}}$，地球表面的重力加速度${g}_{地}^{\;}=G\frac{{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{2}}$，$\frac{{g}_{月}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{月}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{月}^{2}}=\frac{1}{a}×\frac{_{\;}^{2}}{1}=\frac{_{\;}^{2}}{a}$，故B正確；
C、根據(jù)$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，得$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，落到落到月球表面的時間${t}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{2h}{{g}_{月}^{\;}}}$，落到地球表面的時間${t}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2ch}{{g}_{地}^{\;}}}$，$\frac{{t}_{1}^{\;}}{{t}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{1}{c}×\frac{a}{_{\;}^{2}}}=\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{c}}$，故C錯誤；
D、根據(jù)$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，得月球體積與地球的體積之比$\frac{{V}_{月}^{\;}}{{V}_{地}^{\;}}=\frac{1}{_{\;}^{3}}$，根據(jù)密度公式$ρ=\frac{M}{V}$，得$\frac{{ρ}_{月}^{\;}}{{ρ}_{地}^{\;}}=\frac{1}{a}×\frac{_{\;}^{3}}{1}=\frac{_{\;}^{3}}{a}$，故D錯誤；
故選：AB

點評 求一個物理量之比，我們應該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再根據(jù)表達式進行比較．