Question

9．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是繼美國GPS、俄羅斯格洛納斯、歐洲伽利略之后，全球第四大衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)．到2020年我國將形成由30多顆同步衛(wèi)星組網(wǎng)且導(dǎo)航精度達(dá)0.1m的高精度導(dǎo)航系統(tǒng)．若同步衛(wèi)星離地面的高度為h，地球的半徑為R，地面附近的重力加速度為g，萬有引力常量為G，求（用字母表示）：
（1）同步衛(wèi)星繞地運行的線速度；
（2）若某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為地球半徑的3倍，則同步衛(wèi)星與該衛(wèi)星的線速度之比．

Answer 1

分析 忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式．
研究衛(wèi)星在地球軌道上做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求解．

解答 解：（1）忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
研究同步衛(wèi)星在地球軌道上做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
r=R+h
解得：v=$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{R+h}}$，
（2）若某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為地球半徑的3倍，
根據(jù)萬有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
r=3R
同步衛(wèi)星與該衛(wèi)星的線速度之比為$\frac{{v}_{同}}{{v}_{衛(wèi)}}$=$\sqrt{\frac{3R}{R+h}}$，
答：（1）同步衛(wèi)星繞地運行的線速度是$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{R+h}}$；
（2）若某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為地球半徑的3倍，則同步衛(wèi)星與該衛(wèi)星的線速度之比是$\sqrt{\frac{3R}{R+h}}$．

點評 解答此題要清楚地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，由萬有引力定律和向心力公式結(jié)合研究．