Question

3．如圖為交流發(fā)電機的示意圖，發(fā)電機電樞線圈abcd為n=500匝的矩形線圈，其中ac長為L₁=10cm，ab長為L₂=5cm．線圈繞垂直于磁場的軸OO′在磁感應(yīng)強度為B=$\frac{\sqrt{2}}{π}$T的勻強磁場中以周期為T=0.02s的速度勻速轉(zhuǎn)動（線圈電阻忽略不計）．用此交流發(fā)電機對外供電，若發(fā)電機輸出功率為100KW，向遠處輸電用的輸電線總電阻為10Ω．為了使輸電線上損耗的功率不超過輸送總功率的4%，且用戶端剛好能得到220V交變電壓，試求：
（1）發(fā)電機電動勢的瞬時值表達式（線圈從圖示位置開始計時）；
（2）發(fā)電機的輸出電壓U₁和遠距離輸電線上的電流I₂；
（3）供電端的升壓變壓器的匝數(shù)比$\frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}$和用戶端的降壓變壓器的圈匝數(shù)比$\frac{{n}_{3}}{{n}_{4}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公式E_m=nBSω求解電動勢的最大值；然后根據(jù)e=E_msinωt求解電動勢的瞬時值
（2）線圈電阻忽略不計，發(fā)電機的輸出電壓等于電源電動勢；輸電線上損耗的功率不超過輸送總功率的4%，根據(jù)${P}_{損}={I}^{2}{R}_{線}$求解輸電線上的電流．
（3）根據(jù)P=UI可求得電動機的輸出電流，根據(jù)$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}$可求得供電端的升壓變壓器的匝數(shù)比；根據(jù)能量守恒可求得用戶得到的功率，根據(jù)P=UI可求得電動機的輸出電流，根據(jù)$\frac{{I}_{3}}{{I}_{4}}=\frac{{n}_{4}}{{n}_{3}}$可求得供電端的降壓變壓器的匝數(shù)比；

解答 解：（1）線圈產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的最大值E_m=nBωs=nB$\frac{2π}{T}$ab×bc
代入數(shù)據(jù)解得：E_m=250$\sqrt{2}$V
感應(yīng)電動勢隨時間變化的表達式 e=E_mcosωt=250$\sqrt{2}$sin100πt
（2）由題意可得輸電線上損失的功率為；${P}_{損}=\frac{4}{100}×100kw=4kw$
根據(jù)${P}_{損}={I}^{2}{R}_{線}$得輸電線上的電流為：${I}_{2}=\sqrt{{{P}_{損}R}_{線}}=\sqrt{4×1{0}^{3}×10}A=200A$．
線圈電阻忽略不計，發(fā)電機的輸出電壓${U}_{1}=E=\frac{250\sqrt{2}}{\sqrt{2}}V=250V$
（3）根據(jù)P=UI得發(fā)電機的輸出電流：${I}_{1}=\frac{{P}_{1}}{{U}_{1}}=\frac{100×1{0}^{3}}{250}A=400A$
根據(jù)$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}$得供電端的升壓變壓器的匝數(shù)比為：$\frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}=\frac{{I}_{2}}{{I}_{1}}=\frac{200}{400}=\frac{1}{2}$
根據(jù)能量守恒得：${P}_{4}=\frac{100-4}{100}×100×1{0}^{3}W=96kw$
根據(jù)P=UI得發(fā)電機的輸出電流：${I}_{4}=\frac{{P}_{4}}{{U}_{4}}=\frac{96×1{0}^{3}}{220}A=\frac{4800}{11}A$
根據(jù)$\frac{{I}_{3}}{{I}_{4}}=\frac{{n}_{4}}{{n}_{3}}$得供電端的降壓變壓器的匝數(shù)比：$\frac{{n}_{3}}{{n}_{4}}=\frac{{I}_{4}}{{I}_{3}}=\frac{\frac{4800}{11}}{200}=\frac{24}{11}$
答：（1）發(fā)電機電動勢的瞬時值表達式（線圈從圖示位置開始計時）為e=E_mcosωt=250$\sqrt{2}$sin100πt；
（2）發(fā)電機的輸出電壓U₁為250V，遠距離輸電線上的電流I₂為200A；
（3）供電端的升壓變壓器的匝數(shù)比$\frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}$為$\frac{1}{2}$和用戶端的降壓變壓器的圈匝數(shù)比$\frac{{n}_{3}}{{n}_{4}}$為$\frac{24}{11}$．

點評 本題關(guān)鍵是要抓住輸電線上的功率損耗，然后根據(jù)變壓器的電流與匝數(shù)關(guān)系即可求解．