Question

4．如圖（a）所示，間距為L、電阻不計的光滑導(dǎo)軌固定在傾角為θ的斜面上．在區(qū)域I內(nèi)有方向垂直于斜面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度恒為B不變；在區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B_t的大小隨時間t變化的規(guī)律如圖（b）所示．t=0時刻在軌道上端的金屬細(xì)棒ab從如圖位置由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，同時下端的另一金屬細(xì)棒cd在位于區(qū)域I內(nèi)的導(dǎo)軌上也由靜止釋放．在ab棒運動到區(qū)域Ⅱ的下邊界EF之前，cd棒始終靜止不動，兩棒均與導(dǎo)軌接觸良好．
已知cd棒的質(zhì)量為0.6m、電阻為0.3R，ab棒的質(zhì)量、阻值均未知，區(qū)域Ⅱ沿斜面的長度為L，在t=t_x時刻（t_x未知）ab棒恰好進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，重力加速度為g．求：

（1）區(qū)域I內(nèi)磁場的方向；
（2）通過cd棒中的電流大小和方向；
（3）ab棒開始下滑的位置離區(qū)域Ⅱ上邊界的距離；
（4）ab棒從開始下滑至EF的過程中，回路中產(chǎn)生總的熱量．
（結(jié)果用B、L、θ、m、R、g中的字母表示）

Answer 1

分析 （1）Ⅱ內(nèi)磁場均勻變化，在回路中形成感應(yīng)電流，根據(jù)楞次定律判斷出流過cd的電流方向，然后根據(jù)平衡求出cd棒所受安培力方向，進(jìn)一步根據(jù)左手定則判斷磁場方向．根據(jù)導(dǎo)體棒處于平衡狀態(tài)可知，安培力等于重力沿導(dǎo)軌向下分力，由此可求出通過cd棒中的電流大小和方向．
（2）棒ab進(jìn)入II區(qū)域前后回路中的電動勢不變，即磁場變化產(chǎn)生電動勢與導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生電動勢相等，據(jù)此求出導(dǎo)體棒進(jìn)入II時速度大小，然后根據(jù)導(dǎo)體棒勻加速下滑的特點即可求出結(jié)果．
（3）回路中電流恒定，根據(jù)Q=EIt可求出結(jié)果．

解答 解：（1、2）如圖所示，cd棒受到重力、支持力和安培力的作用而處于平衡狀態(tài)，由平衡條件得：
BIL=0.6mgsinθ
解得：I=0.6$\frac{mgsinθ}{BL}$；
可見，回路中感應(yīng)電流和感應(yīng)電動勢保持不變．
由楞次定律可知，流過cd的電流方向為從d到c，cd所受安培力沿導(dǎo)軌向上，故由左手定則可知，I內(nèi)磁場垂直于斜面向上．故區(qū)域I內(nèi)磁場的方向垂直于斜面向上．
（3）ab進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ前做勻加速運動，進(jìn)入后做勻速運動，設(shè)ab剛好到達(dá)區(qū)域Ⅱ的邊界的速度大小為v．
在0-t_x內(nèi)，由法拉第電磁感應(yīng)定律得：
E₁=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{2B-B}{{t}_{x}}$•L²=$\frac{B{L}^{2}}{{t}_{x}}$
在t_x后有：E₂=BLv
且 E₁=E₂
解得：v=$\frac{L}{{t}_{x}}$
由s=$\frac{{vt}_{x}}{2}$
解得：s=$\frac{L}{2}$
故ab棒開始下滑的位置離區(qū)域Ⅱ上邊界的距離為$\frac{L}{2}$．
（4）ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后作勻速直線運動，有：t₂=t_x，
總時間為：t_總=t_x+t₂=2t_x，
電動勢E=BLυ_x不變，總熱量為：
Q=EIt_總=1.2mgv_xt_xsinθ=1.2mgLsinθ 　
答：（1）區(qū)域I內(nèi)磁場的方向垂直于斜面向上．
（2）通過cd棒中的電流大小是0.6$\frac{mgsinθ}{BL}$，方向由d到c；
（3）ab棒開始下滑的位置離區(qū)域Ⅱ上邊界的距離s是$\frac{L}{2}$；
（4）ab棒從開始到下滑至EF的過程中，回路中產(chǎn)生的總熱量是1.2mgLsinθ

點評 本題考查導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢問題，解決這類問題的關(guān)鍵是弄清電路結(jié)構(gòu)，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況．