Question

12．在遙遠的太空中有三顆星體A、B、C，已知三顆星體的質(zhì)量均為M，且在空間上組成一正三角形，如圖所示，其中的任意一顆星體在另兩個星體的作用下，圍繞著正三角形的中心做勻速圓周運動．已知正三角形的邊長為L，星體的線速度為v、角速度為ω、周期為T、運行的加速度為a，則下列說法中正確的是（　�。�

• A． 星體的線速度為$\sqrt{\frac{3GM}{L}}$
• B． 星體的周期為2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{3GM}}$
• C． 星體的角速度為$\sqrt{\frac{GM}{{L}^{3}}}$
• D． 星體的向心加速度為$\frac{\sqrt{3}GM}{{L}^{2}}$

Answer 1

分析 先寫出任意兩個星星之間的萬有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．然后用L表達出它們的軌道半徑，最后寫出用周期和線速度表達的向心力的公式，整理即可的出結(jié)果．

解答 解：由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$，
A、萬有引力提供圓周運動向心力有：$2×G\frac{MM}{{L}^{2}}×cos30°=M\frac{{v}^{2}}{r}$解得v=$\sqrt{\frac{GM}{L}}$，故A錯誤；
B、由A知，星體的周期T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2π\(zhòng)frac{\sqrt{3}}{3}L}{\sqrt{\frac{GM}{L}}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{3GM}}$，故B正確；
C、由B分析知$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{3GM}}}=\sqrt{\frac{3GM}{{L}^{3}}}$，故C錯誤；
D、星體的向心加速度a=$r{ω}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}L•\frac{3GM}{{L}^{3}}=\frac{\sqrt{3}GM}{{L}^{2}}$，故D正確．
故選：BD．

點評 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．