Question

5．某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽．比賽路徑如圖所示，賽車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L后，由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，并能越過壕溝．已知賽車質(zhì)量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.5W工作，進(jìn)入豎直軌道前受到阻力恒為0.3N，隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力均可不計(jì)．圖中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，s=1.50m．問要使賽車完成比賽，
（1）在豎直圓軌道最高點(diǎn)速度至少為多大？
（2）在豎直圓軌道最低點(diǎn)B賽車對(duì)軌道壓力至少為多大？
（3）電動(dòng)機(jī)至少工作多長時(shí)間？（取g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）賽車剛好到達(dá)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求賽車通過圓軌道最高點(diǎn)的最小速度．
（2）豎直圓軌道是光滑的，由動(dòng)能定理求出小球通過B點(diǎn)的最小速度，再由牛頓定律求在豎直圓軌道最低點(diǎn)B賽車對(duì)軌道壓力的最小值．
（3）通過平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出賽車通過B點(diǎn)的速度，從而確定通過B點(diǎn)的最小速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)賽車恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為v′₁．根據(jù)牛頓第二定律得，mg=m$\frac{{v}_{1}^{′2}}{R}$，則得 v′₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.32}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s
所以賽車在豎直圓軌道最高點(diǎn)速度至少為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s．
（2）賽車從B到豎直圓軌道最高點(diǎn)的過程，根據(jù)動(dòng)能定理得
-mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{′2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得，賽車要通過圓軌道最高點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的速度至少為 v₁=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.32}$=4m/s
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得
    N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立得 N=6mg=6×0.1×10=6N
由牛頓第三定律得知，在豎直圓軌道最低點(diǎn)B賽車對(duì)軌道壓力至少為 N′=N=6N
（3）賽車恰好能越過壕溝時(shí)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有
   h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$=0.5s
則平拋運(yùn)動(dòng)的初速度 v₂=$\frac{s}{t}$=$\frac{1.5}{0.5}$=3m/s．
綜上，為保證越過壕溝，到達(dá)B點(diǎn)的速度至少為 v₁=4m/s
因此賽車到達(dá)B點(diǎn)的速度至少為：v=v₁=4m/s
從A到B對(duì)賽車用動(dòng)能定理：
    Pt′-fL=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得 t′=2.54s
答：
（1）在豎直圓軌道最高點(diǎn)速度至少為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s．
（2）在豎直圓軌道最低點(diǎn)B賽車對(duì)軌道壓力至少為4m/s．
（3）電動(dòng)機(jī)至少工作2.54s時(shí)間．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，在已知水平距離和下落高度時(shí)，要求得平拋運(yùn)動(dòng)的初速度．