Question

20．2013年12月2日1時(shí)30分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長(zhǎng)征三號(hào)乙”運(yùn)載火箭，成功將“嫦娥三號(hào)”探測(cè)飛船發(fā)射升空，展開奔月之旅．“嫦娥三號(hào)”首次實(shí)現(xiàn)月面巡視勘察和月球軟著陸，為我國(guó)探月工程開啟新的征程．設(shè)載著登月艙的探測(cè)飛船在以月球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期為T₁．隨后登月艙脫離飛船，變軌到離月球更近的半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動(dòng)．萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 登月艙在半徑為r₂的圓軌道上比在半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度小
• B． 登月艙在半徑為r₂的圓軌道上比在半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度大
• C． 月球的質(zhì)量為$\frac{4{{π}^{2}r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$
• D． 登月艙在半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期為$\sqrt{\frac{{r}_{2}^{2}{T}_{1}^{3}}{{r}_{1}^{2}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，得到衛(wèi)星的速度公式，分析登月艙在兩種軌道上速度的大�。�由v=ωr，分析角速度的關(guān)系；
根據(jù)萬有引力等于向心力，由萬有引力定律和向心力公式列式，可求出月球的質(zhì)量．根據(jù)開普勒第三定律，化簡(jiǎn)可得登陸艙在半徑為r₂軌道上的周期T₂

解答 解：A、B、根據(jù)萬有引力提供向心力，得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r，得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，可知衛(wèi)星的軌道半徑越小，角速度和線速度越大，所以登月艙在半徑為r₂的圓軌道上比在半徑r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度、線速度都大，故A錯(cuò)誤，B正確．
C、登月艙在半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由$\frac{GMm}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$r₁，則得月球的質(zhì)量為：M=$\frac{4{{π}^{2}r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，故C正確．
D、根據(jù)開普勒第三定律有：$\frac{{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}=\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}$，可得：T₂=$\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}{T}_{1}^{2}}{{r}_{1}^{3}}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 本題是典型的天體運(yùn)動(dòng)的問題，根據(jù)萬有引力提供向心力是解決這類問題常用思路，要能根據(jù)題目的要求熟練選擇不同的向心力的表達(dá)式．