Question

9．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系的y軸豎直向上，x軸上的P點(diǎn)與Q點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，距離為2a．有一簇質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電微粒，在xoy平面內(nèi)，從P點(diǎn)以相同的速率斜向右上方的各個(gè)方向射出（即與x軸正方向的夾角θ，0°＜θ＜90°），經(jīng)過某一個(gè)垂直于xoy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域后，最終會(huì)聚到Q點(diǎn)，這些微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于y軸對稱．為保證微粒的速率保持不變，需要在微粒的運(yùn)動(dòng)空間再施加一個(gè)勻強(qiáng)電場．重力加速度為g．求：
（1）勻強(qiáng)電場場強(qiáng)E的大小和方向；
（2）若微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為a，求與x軸正方向成30°角射出的微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間t；
（3）若微粒從P點(diǎn)射出時(shí)的速率為v，試推出在x＞0的區(qū)域中磁場的邊界點(diǎn)坐標(biāo)x與y之間滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）離子進(jìn)入磁場后，電場力下重力合力為0，受到洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（2）先根據(jù)幾何關(guān)系求出進(jìn)入和離開磁場時(shí)的坐標(biāo)，求出粒子運(yùn)動(dòng)的路程，根據(jù)時(shí)間等于路程除以速率求解；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系表示出x、y與半徑r的關(guān)系，帶入數(shù)據(jù)即可得出x與y之間滿足的關(guān)系式．

解答 解：（1）由題意可知，微粒所受電場力與重力平衡，即qE=mg
解得：$E=\frac{mg}{q}$，方向豎直向上． 
（2）根據(jù)題意畫出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)A、C分別為微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)的射入點(diǎn)和射出點(diǎn)．根據(jù)幾何關(guān)系可得：
A點(diǎn)坐標(biāo)為（$-\frac{a}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$），C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{a}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$）
微粒運(yùn)動(dòng)的路程為 $s=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a+\frac{π}{3}a$
設(shè)微粒運(yùn)動(dòng)的速率為v，它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到的洛倫茲力提供向心力，即：$Bqv=m\frac{v^2}{r}$
時(shí)間：$t=\frac{s}{v}$
解得：$t=\frac{{（2\sqrt{3}+π）m}}{3qB}$
（3）如圖所示，設(shè)微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，在x＞0的區(qū)域內(nèi)，設(shè)微粒離開磁場后的速度方向與x軸夾角為θ．根據(jù)幾何關(guān)系可得：x=rsinθ$y=（\frac{a}{cosθ}-rtanθ）sinθ$
代入相關(guān)數(shù)據(jù)并化簡得：$y=\frac{{（ax-{x^2}）Bq}}{{\sqrt{{m^2}{v^2}-{B^2}{q^2}{x^2}}}}$

答：（1）勻強(qiáng)電場場強(qiáng)大小是$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上
    （2）微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間是$\frac{（2\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
    （3）微粒在x＞0的區(qū)域中飛出磁場的位置坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系式：$\frac{（ax-{x}^{2}）Bq}{\sqrt{{m}^{2}{v}^{2}-{B}^{2}{q}^{2}{x}^{2}}}$

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度較大．