Question

3．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對它們的引力作用．如圖，設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為L的正方形的四個頂點上．已知引力常量為G，關(guān)于四星系統(tǒng)（忽略星體自轉(zhuǎn)的影響），下列說法正確的是（　�。�

• A． 四顆星的向心加速度的大小為$\frac{2\sqrt{2}Gm}{{L}^{2}}$
• B． 四顆星運行的線速度大小是$\sqrt{\frac{Gm（1+2\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}L}}$
• C． 四顆星表面的重力加速度均為G$\frac{m}{{R}^{2}}$
• D． 四顆星的周期均為2πL$\sqrt{\frac{2L}{Gm（1+2\sqrt{2}）}}$

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的引力的合力提供圓周運動的向心力，根據(jù)合力提供向心力，求出星體勻速圓周運動的加速度、線速度和周期．在星球表面上，根據(jù)萬有引力等于重力，求出星體表面的重力加速度．

解答 解：任一星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，軌道半徑均r=$\frac{\sqrt{2}}{2}L$，
根據(jù)$\frac{G{m}^{2}}{（\sqrt{2}L）^{2}}+\frac{\sqrt{2}G{m}^{2}}{{L}^{2}}=ma$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$r\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，a=$\frac{（2\sqrt{2}+1）Gm}{2{L}^{2}}$，v=$\sqrt{\frac{Gm}{L}（1+\frac{\sqrt{2}}{4}）}$=$\sqrt{\frac{Gm（1+2\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}L}}$，T=2πL$\sqrt{\frac{2L}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$，故A、D錯誤，B正確．
根據(jù)$G\frac{{m}^{2}}{{R}^{2}}=mg$得，星球表面的重力加速度g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$，故C正確．
故選：BC．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．