Question

10．如圖所示，在平面內(nèi)存 在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)場(chǎng)區(qū)，y軸右側(cè)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ，y軸左側(cè)與虛線MN之間存在方向相反的兩個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，Ⅱ區(qū)電場(chǎng)方向豎直向下，Ⅲ區(qū)電場(chǎng)方向豎直向上，P點(diǎn)是MN與x軸的交點(diǎn)．有一質(zhì)量為m，帶電荷量+q的帶電粒子由原點(diǎn)0，以速度v沿x軸正方向水平射入磁場(chǎng)Ⅰ，已知?jiǎng)驈?qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直紙面向里，大小為B₀，勻強(qiáng)電場(chǎng)Ⅱ和勻強(qiáng)電場(chǎng)Ⅲ的電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E=$\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{4}$，如圖所示，Ⅳ區(qū)的磁場(chǎng)垂直紙面向外，大小為$\frac{{B}_{0}}{2}$，OP之間的距離為$\frac{8m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$，已知粒子最后能回到0點(diǎn)．
（1）帶電粒子從0點(diǎn)飛出后，第一次回到x軸時(shí)的位置和時(shí)間；
（2）根據(jù)題給條件畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡；
（3）帶電粒子從0點(diǎn)飛出后到再次回到0點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)半徑公式求出粒子在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的半徑，從而得出粒子在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)半周回到y(tǒng)軸的距離；帶電粒子在Ⅱ場(chǎng)區(qū)內(nèi)作類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛二第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間以及水平位移．
（2）粒子在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)半周進(jìn)入電場(chǎng)Ⅱ，做類平拋運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入電場(chǎng)Ⅲ，做曲線運(yùn)動(dòng)，恰好垂直邊界進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅳ，做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，又進(jìn)入電場(chǎng)Ⅱ做類平拋運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入電場(chǎng)Ⅲ做曲線運(yùn)動(dòng)，垂直邊界進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ，做半個(gè)圓周回到O點(diǎn)．
（3）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，求出總時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的半徑為${R}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$，
帶電粒子在Ⅰ磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了半周，回到y(tǒng)軸的坐標(biāo)y=2R₁=$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$，
帶電粒子在Ⅱ場(chǎng)區(qū)內(nèi)作類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得，帶電粒子運(yùn)動(dòng)的加速度a=$\frac{qE}{m}=\frac{q{B}_{0}{v}_{0}}{4m}$，
豎直方向上有：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，水平方向上有：x=v₀t，
聯(lián)立解得$t=\frac{4m}{q{B}_{0}}$，
${t}_{總}=\frac{4m}{q{B}_{0}}+\frac{2πm}{q{B}_{0}}$．
x=$\frac{4m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$．
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性畫出粒子在場(chǎng)區(qū)Ⅲ的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．帶電粒子在場(chǎng)區(qū)Ⅳ運(yùn)動(dòng)的半徑是場(chǎng)區(qū)Ⅰ運(yùn)動(dòng)半徑的2倍，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，同樣根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性畫出粒子回到O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
（3）帶電粒子在Ⅰ磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間正好為1個(gè)周期，故${t}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
帶電粒子在Ⅱ、Ⅲ兩個(gè)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{2}=4t=\frac{16m}{q{B}_{0}}$，
帶電粒子在Ⅳ場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為半個(gè)周期，運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{3}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
因?yàn)閹щ娏Ｗ訌腛點(diǎn)飛出后到再次回到O點(diǎn)的時(shí)間t_總=t₁+t₂+t₃=$\frac{（4π+16）m}{q{B}_{0}}$．
答：（1）第一次回到x軸時(shí)的位置為x=$\frac{4m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$．時(shí)間為$\frac{4m}{q{B}_{0}}+\frac{2πm}{q{B}_{0}}$．
（2）如圖所示．
（3）帶電粒子從0點(diǎn)飛出后到再次回到0點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{（4π+16）m}{q{B}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵會(huì)確定半徑和圓心以及圓心角．本題涉及的過程較多，要正確地畫出軌跡圖是關(guān)鍵．