Question

8．如圖所示是位于X星球表面附近的豎直光滑圓弧軌道，宇航員通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小球位于軌道最低點(diǎn)的速度不小于v₀時(shí)，就能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．已知圓弧軌道半徑為r，X星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G．則（　　）

• A． 環(huán)繞X星球的軌道半徑為2R的衛(wèi)星的周期為$\frac{4π}{{v}_{0}}$$\sqrt{Rr}$
• B． X星球的平均密度為$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{10πGRr}$
• C． X星球的第一宇宙速度為v₀$\sqrt{\frac{R}{r}}$
• D． X星球的第一宇宙速度為v₀$\sqrt{\frac{R}{5r}}$

Answer 1

分析 小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，有重力充當(dāng)向心力，小球在光滑圓弧軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得出重力加速度的大小，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，以及萬(wàn)有引力等于重力，聯(lián)立解出環(huán)月衛(wèi)星的周期，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出X星球質(zhì)量，從而求出密度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，以及萬(wàn)有引力等于重力，求第一宇宙速度．

解答 解：A、設(shè)X星球表面重力加速度為g，質(zhì)量為M，小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)；則小球在最高點(diǎn)時(shí)，僅由重力提供向心力；根據(jù)牛頓第二定律有：
mg=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
小球從軌道最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有：
mg•2r=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立兩式可得：g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{5r}$
環(huán)繞X星球的軌道半徑為2R的衛(wèi)星由萬(wàn)有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}•2R}{{T}^{2}}$
又$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：T=$\frac{4π}{{v}_{0}}\sqrt{10Rr}$，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
根據(jù)M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$得：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{20πGRr}$，故B錯(cuò)誤；
C、X星球的第一宇宙速度為
v=$\sqrt{gR}$=v₀$\sqrt{\frac{R}{5r}}$，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵會(huì)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律定律解題，知道小球在內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)恰好過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件．以及掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力．