Question

11．如圖所示，一根不可伸長的輕繩長為L，一端固定于O點，另一端系一質(zhì)量m的小球（可視為質(zhì)點）．將繩拉直后，從與O點等高的A點由釋放小球，小球在豎直平面內(nèi)沿圓弧運動，通過最低點B后立即受到一水平向左的恒力F的作用，到達(dá)與O點等高的C點時立即撤去F．空氣阻力忽略不計．
（1）求小球剛到B點時，繩子對它拉力T的大��；
（2）為使小球能夠沿圓周運動通過最高點D，求小球從B點運動到C點的過程中所加水平恒力的最小值F₀；
（3）改變恒力F的大小，小球在BC間運動的最大速度v以及達(dá)到最大速度時小球的位置P（圖中未標(biāo)出）均發(fā)生改變，設(shè)O、P兩點的連線與OB的夾角為θ，試推導(dǎo)出v與θ的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒定律求出小球剛到B點時的速度，再由牛頓第二定律求拉力T．
（2）小球恰好能夠沿圓周運動通過最高點D時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過D點的最小速度，再由動能定理求水平恒力的最小值F₀．
（3）當(dāng)F與重力mg的合力通過O點時速度最大，由幾何關(guān)系和動能定理結(jié)合解答即可．

解答 解：（1）小球從A到B的過程，由機械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mgL
在B點，由牛頓第二定律得 T-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
聯(lián)立解得 T=3mg
（2）小球恰好能夠沿圓周運動通過最高點D時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得
   mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$
小球從A到D過程，由動能定理得
  F₀L-mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
聯(lián)立解得  F₀=1.5mg
（3）與重力場類比，可得F與mg的合力為 F′=$\sqrt{{F}^{2}+（mg）^{2}}$
當(dāng)F′通過圓心O時小球的速度最大，此時有 tanθ=$\frac{F}{mg}$
從A到速度最大位置的過程，由動能定理得
  mgLcosθ+FLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立解得 v=$\sqrt{\frac{2gL}{cosθ}}$
答：
（1）小球剛到B點時，繩子對它拉力T的大小是3mg．
（2）小球從B點運動到C點的過程中所加水平恒力的最小值F₀是1.5mg．
（3）v與θ的關(guān)系式是v=$\sqrt{\frac{2gL}{cosθ}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運動向心力的來源，知道“繩模型”最高點的臨界情況，結(jié)合牛頓第二定律和動能定理結(jié)合進行分析．