Question

10．如圖所示，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度B=0.60T，磁場內(nèi)有一塊足夠大平行感光板ab，板面與磁場方向平行，粒子發(fā)射源S向紙面內(nèi)各個方向發(fā)射v=3.0×10⁶m/s的正粒子，S到ab的距離l=16cm．已知粒子的比荷$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg，求：
（1）板ab上被粒子打中的區(qū)域長度；
（2）達(dá)到ab板上的粒子中最長運動時間是最短運動時間的幾倍；
（3）ab板向下移動多少可使打到ab板上的粒子占總粒子數(shù)的三分之一？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得粒子的半徑，則根據(jù)幾何關(guān)系可求得ab上被打中的區(qū)域的長度．
（2）要使以S為圓心，以半徑r做圓，該圓即所有粒子運動的圓心所在的位置，根據(jù)這些位置結(jié)合幾何關(guān)系即可判斷出運動粒子運動時間最長和運動時間最短的粒子運動的軌跡，求出粒子偏轉(zhuǎn)的角度，最后由偏轉(zhuǎn)角度與時間的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）打到ab板上的粒子占總粒子數(shù)的三分之一，則三分之一角度內(nèi)的粒子打在ab板上即可．

解答 解：（1）粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，

用R表示軌道半徑，有$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，解得R=$\frac{mv}{qB}$，
代入數(shù)值得R=0.10m
可見，2R＞l＞R．
因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點P₁就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點．為定出P₁點的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于O點，過Q作ab的垂線，它與ab的交點即為P₁．
$N{P}_{1}=\sqrt{{R}^{2}-（l-R）^{2}}$，
再考慮N的右側(cè)．任何α粒子在運動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P₂點，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點．
由圖中幾何關(guān)系得NP₂=$\sqrt{（2R）^{2}-{l}^{2}}$，
所求長度為  P₁P₂=NP₁+NP₂
代入數(shù)值得P₁P₂=0.20m
ab上被α粒子打中的區(qū)域的長度 P₁P₂=0.2cm．
（2）要使以S為圓心，以0.1m為半徑做圓，該圓即所有粒子運動的圓心所在的位置，根據(jù)這些位置結(jié)合幾何關(guān)系可知，粒子的軌跡在N點右側(cè)與ab相切時，粒子的偏轉(zhuǎn)角最大，運動的時間最長；到達(dá)N點的粒子到S的距離最小，粒子運動軌跡的弦長最小，對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最小，運動的時間最短，如圖2．

由幾何關(guān)系可知：$sin（360°-α-90°）=\frac{l-R}{R}=\frac{0.16-0.1}{0.1}=\frac{3}{5}$；$sin\frac{β}{2}=\frac{\frac{l}{2}}{R}=\frac{\frac{0.16}{2}}{0.1}=\frac{4}{5}$
所以：α=233°；β=106°
設(shè)粒子運動的周期為T，則最長的時間：${t}_{max}=\frac{α}{360°}•T$；${t}_{min}=\frac{β}{360°}•T$
所以：$\frac{{t}_{max}}{{t}_{min}}=\frac{α}{β}=\frac{233}{106}$
可知最長運動時間是最短運動時間的$\frac{233}{106}$倍
（3）由圖2分析可知，粒子的軌跡分別在N點的兩側(cè)與ab相切時，它們之間的粒子都可以打到ab上，其余的粒子不變到達(dá)ab板，若要使打到ab板上的粒子占總粒子數(shù)的三分之一，則∠OSO₁=$\frac{1}{3}×360°=120°$
此時S到ab之間的距離：L=R+R•cos$\frac{120°}{2}$=0.1+0.1×$\frac{1}{2}$=0.15m
所以ab需要向下移動的距離：△L=l-L=0.16-0.15=0.01m
答：（1）板ab上被粒子打中的區(qū)域長度是0.2m；
（2）達(dá)到ab板上的粒子中最長運動時間是最短運動時間的$\frac{233}{106}$倍；
（3）ab板向下移動0.01m可使打到ab板上的粒子占總粒子數(shù)的三分之一．

點評 帶電粒子在磁場中的運動解題的關(guān)鍵在于確定圓心和半徑，然后再由幾何關(guān)系即可求得要求的問題．