Question

1．如圖所示，兩根直金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的斜面上，兩根導(dǎo)軌間距為L．N、Q兩點(diǎn)間接一阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m的均勻直金屬桿ab放置在導(dǎo)軌上．已知金屬桿ab的橫截面積為正方形，金屬桿ab與導(dǎo)軌垂直，并且金屬桿ab與NQ平行，它們間的距離為L，金屬桿ab與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（μ＞tanθ）．整套裝置處于垂直于平面MNQP斜向上的勻強(qiáng)磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律為B=kt，k＞0．導(dǎo)軌和金屬桿的電阻可以忽略不計(jì)．金屬桿與導(dǎo)軌間接觸良好，并認(rèn)為金屬桿和導(dǎo)軌間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．求：
（1）磁場變化過程中，金屬桿ab靜止時(shí)，流過電阻R的電流大小I；
（2）從磁場開始變化到金屬桿ab所受靜摩擦力為零，所經(jīng)過的時(shí)間t；
（3）從磁場開始變化到金屬桿ab剛要開始滑動(dòng)，電阻R上產(chǎn)生的電熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢，由歐姆定律求出感應(yīng)電流I．
（2）金屬桿ab所受靜摩擦力為零時(shí)，安培力與重力沿導(dǎo)軌向下的分力平衡，由平衡條件和B=kt求解時(shí)間．
（3）金屬桿ab剛要開始滑動(dòng)，所受的靜摩擦力沿導(dǎo)軌向下達(dá)到最大值，由平衡條件求出時(shí)間，由焦耳定律求電勢．

解答 解：（1）閉合電路的感應(yīng)電動(dòng)勢 E=$\frac{△Φ}{△t}$=kL²；
流過電阻R的電流 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{k{L}^{2}}{R}$
（2）設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，金屬桿ab所受的靜摩擦力為零，此時(shí)桿ab受力如右圖所示．
根據(jù)平衡條件有 mgsinθ=BIL
將 I=$\frac{k{L}^{2}}{R}$和B=kt代入上式得 t=$\frac{mgRsinθ}{{k}^{2}{L}^{3}}$
（3）設(shè)經(jīng)過時(shí)間t′金屬桿ab剛要開始滑動(dòng)，此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B′=kt′，此時(shí)桿受力如圖所示．
由金屬桿受力滿足：B′IL=mgsinθ+μmgcosθ
將 I=$\frac{k{L}^{2}}{R}$和B′=kt′代入上式得 t′=$\frac{（mgsinθ+μmgcosθ）R}{{k}^{2}{L}^{3}}$
所以電阻R上產(chǎn)生的電熱 Q=I²Rt′=（mgsinθ+μmgcosθ）L
答：（1）流過電阻R的電流大小I是$\frac{k{L}^{2}}{R}$；
（2）從磁場開始變化到金屬桿ab所受靜摩擦力為零，所經(jīng)過的時(shí)間t是$\frac{mgRsinθ}{{k}^{2}{L}^{3}}$；
（3）從磁場開始變化到金屬桿ab剛要開始滑動(dòng)，電阻R上產(chǎn)生的電熱Q是（mgsinθ+μmgcosθ）L．

點(diǎn)評(píng) 解決本題電磁感應(yīng)與力學(xué)的綜合題，關(guān)鍵要正確分析受力情況，把握桿剛要滑動(dòng)的臨界條件：靜摩擦力達(dá)到最大．結(jié)合法拉第定律、歐姆定律和平衡條件解答．