Question

16．如圖甲所示，豎直放置的金屬板A、B中間開有小孔，小孔的連線沿水平放置的金屬板C、D的中間線，粒子源P可以間斷地產(chǎn)生質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（初速不計(jì)），粒子在A、B間被加速后，再進(jìn)入金屬板C、D間偏轉(zhuǎn)并均能從此電場(chǎng)中射出．已知金屬板A、B間的電壓U_AB=U₀，金屬板C、D長(zhǎng)度為L(zhǎng)，間距d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．兩板之間的電壓U_CD隨時(shí)間t變化的圖象如圖乙所示．在金屬板C、D右側(cè)有一垂直紙面向里的均勻磁場(chǎng)分布在圖示的半環(huán)形帶中，該環(huán)帶的內(nèi)、外圓心與金屬板C、D的中心O點(diǎn)重合，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=$\sqrt{\frac{24m{U}_{0}}{q{L}^{2}}}$，內(nèi)圓半徑R₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．已知粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間遠(yuǎn)小于電場(chǎng)變化的周期（電場(chǎng)變化的周期T未知），粒子重力不計(jì)．

（1）求粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，在垂直于板面方向偏移的最大距離；
（2）若所有粒子均不能從環(huán)形磁場(chǎng)的右側(cè)穿出，求環(huán)帶磁場(chǎng)的最小寬度．

Answer 1

分析 （1）對(duì)粒子加速過(guò)程由動(dòng)能定理求得進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度．要在垂直于板面方向偏移的距離最大，那么粒子的加速度也要最大，即所加的電壓最大．根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．
（2）進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)時(shí)的環(huán)帶寬度為磁場(chǎng)的最小寬度，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，畫出粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)的軌跡圖，根據(jù)半徑公式結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)瞬間的速度為v，對(duì)粒子加速過(guò)程由動(dòng)能定理得：qU_AB=$\frac{1}{2}$m${v}_{\;}^{2}$
進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，加速度為：a=$\frac{{qU}_{cd}}{md}$
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有L=v₀t
只有t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子，垂直于極板方向偏移的距離最大，有：
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{{qU}_{cd}}{md}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L
（2）t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)時(shí)的環(huán)帶寬度為磁場(chǎng)的最小寬度．設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v′，
對(duì)粒子的偏轉(zhuǎn)過(guò)程有：$\frac{1}{3}qU$=$\frac{1}{2}{mv′}^{2}$-$\frac{1}{2}{mv}^{2}$
解得：v′=$\sqrt{\frac{8{qU}_{0}}{3m}}$
在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{L}{3}$
如圖所示，設(shè)環(huán)帶外圓半徑為R₂，
（R₂-R₁）²=${R}_{1}^{2}$+R²
解得：R₂=L
所求d=R₂-R₁=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）L
答：（1）粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，在垂直于板面方向偏移的最大距離是$\frac{\sqrt{3}}{6}$L；
（2）環(huán)形帶磁場(chǎng)的最小寬度是（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）L．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子分別在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)兩極間加上電壓時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解問(wèn)題．粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．