Question

5．如圖所示，水平放置的圓錐體軸截面頂角為2θ，均勻彈性繩圈原長為l，質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為k（繩圈伸長x時，繩中張力為kx）．將繩圈從圓錐體的正上方套放到圓錐體上，并用手扶著繩圈保持水平圓環(huán)狀，沿錐面向下推動，放手時，繩圈恰好處于力平衡狀態(tài)A，此時繩圈伸長至L長度．若隨后給繩圈一個沿錐面的極小擾動，繩圈會沿錐面向上稍作移動．設(shè)繩圈與圓錐面間的靜摩擦因數(shù)為μ（靜摩擦因數(shù)為μ=f_max/N，其中f_max為最大靜摩擦力，N為正壓力）．求：
（1）靜摩擦因數(shù)μ的表達式；
（2）繩圈處于力平衡狀態(tài)A時繩圈受到的摩擦力．
（注：要求答案中所涉及的物理量要與題中所對應(yīng)的物理量的符號相一致）

Answer 1

分析 （1）分析繩上的一小段，因受小擾動會向上做極小運動，此時該小段所受到的靜摩擦力為最大值且沿錐面向下．分析該小段的受力，運用正交分解法列出平衡方程，結(jié)合最大靜摩擦力公式求解．
（2）利用對稱性在繩圈直徑處兩小段，其水平方向相互抵消，垂直方向相加，則繩圈總的摩擦力豎直向下，由平衡條件求解．

解答 解：（1）分析繩上小段，張力的合力指向繩圈圓心，大小為Tα，把此段受力分解為錐面法向和錐線方向，小段質(zhì)量為△m，因受小擾動會向上做極小運動，此時所受到的靜摩擦力為最大值且沿錐面向下．
根據(jù)平衡條件得：
法線方向有：N-△mgsinθ-Tαcosθ=0
沿錐線方向有：△mgcosθ-Tαsinθ+μN=0
又△m=ρRα=m$\frac{α}{2π}$，Tα=k（L-l）α
解得：μ=$\frac{2πk（L-l）sinθ-mgcosθ}{mgsinθ+2πk（L-l）cosθ}$．
（2）利用對稱性在繩圈直徑處兩小段，其水平方向相互抵消，垂直方向相加，則繩圈總的摩擦力豎直向下，大小為  f=μNcosθ
解得 f=2πk（L-l）sinθ cosθ-mgcos²θ
答：
（1）靜摩擦因數(shù)μ的表達式為μ=$\frac{2πk（L-l）sinθ-mgcosθ}{mgsinθ+2πk（L-l）cosθ}$；
（2）繩圈處于力平衡狀態(tài)A時繩圈受到的摩擦力為2πk（L-l）sinθ cosθ-mgcos²θ．

點評 解決本題的關(guān)鍵要把握物體剛要滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大值，采用微元法分析圓圈的受力情況，結(jié)合平衡條件研究．