Question

4．我國的“探月工程”計劃于2017年宇航員登上月球．若宇航員登月前測得貼近月球表面繞月球做勻速圓周運動的飛船飛行一周的時間為T；登上月球后，該宇航員以初速度v₀豎直向上拋出一小球，測出小球從拋出到落回原處所需的時間為t，求：
（1）月球表面重力加速度g_月的大��；
（2）月球的半徑R_月．

Answer 1

分析 （1）小球在月球表面做豎直上拋運動，由t=$\frac{{2v}_{0}}{{g}_{月}}$求出月球表面的重力加速度，
（2）物體在月球表面上時，根據(jù)重力等于萬有引力列出等式聯(lián)立求解月球的半徑R_月．

解答 解：（1）質(zhì)量為m′的小球在月球上做豎直上拋，根據(jù)運動學(xué)規(guī)律有：
t=$\frac{{2v}_{0}}{{g}_{月}}$，
所以月球表面重力加速度為：
g_月=$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）飛船靠近月球表面做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}_{月}m}{{R}_{\;}^{2}}=m{R}_{\;}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
物體在月球表面上時，根據(jù)重力等于萬有引力列出等式：
$m′{g}_{月}=G\frac{{M}_{月}•m′}{{R}_{\;}^{2}}$
由以上各式可求得：${R}_{\;}=\frac{{v}_{0}{T}^{2}}{2{π}^{2}t}$．
答：（1）月球表面重力加速度g_月的大小是$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）月球的半徑R_月是$\frac{{v}_{0}{T}^{2}}{2{π}^{2}t}$．

點評 本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，由中心天體的萬有引力提供向心力．
重力加速度g是聯(lián)系物體運動和天體運動的橋梁．