Question

4．我國(guó)的“探月工程”計(jì)劃于2017年宇航員登上月球．若宇航員登月前測(cè)得貼近月球表面繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的飛船飛行一周的時(shí)間為T；登上月球后，該宇航員以初速度v₀豎直向上拋出一小球，測(cè)出小球從拋出到落回原處所需的時(shí)間為t，求：
（1）月球表面重力加速度g_月的大小；
（2）月球的半徑R_月．

Answer 1

分析 （1）小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由t=$\frac{{2v}_{0}}{{g}_{月}}$求出月球表面的重力加速度，
（2）物體在月球表面上時(shí)，根據(jù)重力等于萬有引力列出等式聯(lián)立求解月球的半徑R_月．

解答 解：（1）質(zhì)量為m′的小球在月球上做豎直上拋，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有：
t=$\frac{{2v}_{0}}{{g}_{月}}$，
所以月球表面重力加速度為：
g_月=$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）飛船靠近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}_{月}m}{{R}_{\;}^{2}}=m{R}_{\;}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
物體在月球表面上時(shí)，根據(jù)重力等于萬有引力列出等式：
$m′{g}_{月}=G\frac{{M}_{月}•m′}{{R}_{\;}^{2}}$
由以上各式可求得：${R}_{\;}=\frac{{v}_{0}{T}^{2}}{2{π}^{2}t}$．
答：（1）月球表面重力加速度g_月的大小是$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）月球的半徑R_月是$\frac{{v}_{0}{T}^{2}}{2{π}^{2}t}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬有引力提供向心力．
重力加速度g是聯(lián)系物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的橋梁．