Question

6．北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國正在自主研發(fā)的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，該系統(tǒng)由空間端（衛(wèi)星）、地面端（中心控制系統(tǒng)）和用戶端（導航定位儀）三部分組成，預計2020年形成全球覆蓋能力．目前正在試用的“北斗一號”衛(wèi)星導航試驗系統(tǒng)也稱“雙星定位導航系統(tǒng)”，利用兩顆地球同步靜止軌道衛(wèi)星為用戶提供快速定位導航服務．
（1）已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉周期為T，求“北斗一號”同步靜止軌道衛(wèi)星距地面的高度；
（2）雙星定位導航系統(tǒng)的工作原理可簡化為如下過程（其示意圖如圖甲所示）：中心控制系統(tǒng)首先向衛(wèi)星發(fā)出詢問信號，經衛(wèi)星Ⅰ轉發(fā)到達用戶端S，用戶接收到該信號并同時向兩顆衛(wèi)星發(fā)出定位響應信號，分別經衛(wèi)星Ⅰ、衛(wèi)星Ⅱ傳送回中心控制系統(tǒng)，中心控制系統(tǒng)分別記錄下從發(fā)出詢問信號到接收到經衛(wèi)星Ⅰ、衛(wèi)星Ⅱ傳回的兩個響應信號的時間．因為控制中心到兩顆衛(wèi)星的距離一定，所以可以利用信號從用戶分別傳送到衛(wèi)星Ⅰ和衛(wèi)星Ⅱ的時間，計算出用戶所在的位置．
在衛(wèi)星Ⅰ、衛(wèi)星Ⅱ和用戶S所在的平面內建立平面直角坐標系如圖乙所示，衛(wèi)星Ⅰ、衛(wèi)星Ⅱ的坐標分別為（-L，0）和（L，0），已知電磁波的傳播速率為c，不計大氣層對信號傳播的影響．
①若地面控制中心測出電磁信號從用戶S傳送到衛(wèi)星Ⅰ所用的時間為t₁，從用戶S傳送到衛(wèi)星Ⅱ所用的時間為t₂，求用戶S在此平面內的位置．
②實際導航定位過程中，為了確定用戶在空間中的位置，你認為中心控制系統(tǒng)還需要測出并提供用戶所在位置的哪些信息？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，由萬有引力定律和牛頓運動定律列出等式求解．
（2）根據(jù)題意及幾何關系求出用戶S的坐標關系．

解答 解：（1）設地球的質量為M，“北斗一號”衛(wèi)星的質量為m，其軌道高度為h，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
對地面上質量為m₀的物體有：$\frac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
聯(lián)立上述二式，可解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（2）①設用戶S的坐標為（x，y），根據(jù)題意及幾何關系，有：
$（x+L）^{2}+（y-0）^{2}=（c{t}_{1}）^{2}$
${（x-L）}^{2}+{（y-0）}^{2}={（c{t}_{2}）}^{2}$
解得S的位置坐標為（$\frac{{c}^{2}（{{t}_{1}}^{2}-{{t}_{2}}^{2}）}{4L}$，$\sqrt{{c}^{2}{{t}_{1}}^{2}-[\frac{{c}^{2}（{{t}_{1}}^{2}-{{t}_{2}}^{2}）}{4L}+L]^{2}}$）
②實際導航定位過程中，為了確定用戶在空間中的位置，還需要測出并提供用戶所在位置的高度．
答：（1）“北斗一號”同步靜止軌道衛(wèi)星距地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（2）①用戶S在此平面內的位置坐標為（$\frac{{c}^{2}（{{t}_{1}}^{2}-{{t}_{2}}^{2}）}{4L}$，$\sqrt{{c}^{2}{{t}_{1}}^{2}-[\frac{{c}^{2}（{{t}_{1}}^{2}-{{t}_{2}}^{2}）}{4L}+L]^{2}}$）．
②實際導航定位過程中，為了確定用戶在空間中的位置，還需要測出并提供用戶所在位置的高度．

點評 地球質量一定、自轉速度一定，同步衛(wèi)星要與地球的自轉實現(xiàn)同步，就必須要角速度與地球自轉角速度相等，這就決定了它的軌道高度和線速度大�。�