Question

8．如圖所示，在空間建立平面直角坐標(biāo)系，在第一象限內(nèi)加上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E、方向沿-y軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限內(nèi)加上電場(chǎng)強(qiáng)度大小也為E，方向與-x軸方向成某一夾角的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量+q的不計(jì)重力的微粒自y軸上某點(diǎn)P開始以初速度v₀沿+x軸方向進(jìn)入第一象限，微粒通過坐標(biāo)為（+x₀，0）的Q點(diǎn)后以和第四象限內(nèi)的電場(chǎng)垂直的方向進(jìn)入第四象限，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）微粒經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度．
（3）微粒從進(jìn)入第四象限開始到運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)最大所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在第一象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，抓住等時(shí)性求出豎直方向上的位移，從而得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)速度時(shí)間公式求出豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出Q點(diǎn)的速度．
（3）根據(jù)平行四邊形定則求出進(jìn)入第四象限時(shí)速度與水平方向的夾角，粒子在第四象限也是做類平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度方向豎直向下時(shí)運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)的最大值，結(jié)合牛頓第二定律和速度時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{x}_{0}}{{v}_{0}}$，
豎直方向上的加速度${a}_{1}=\frac{qE}{m}$，則豎直方向上的位移為：y=$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}}$=$\frac{qE{{x}_{0}}^{2}}{2m{{v}_{0}}^{2}}$．
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，$\frac{qE{{x}_{0}}^{2}}{2m{{v}_{0}}^{2}}$）
（2）微粒經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)豎直方向上的速度為：${v}_{y}={a}_{1}{t}_{1}=\frac{qE{x}_{0}}{m{v}_{0}}$，
根據(jù)平行四邊形定則知，經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度為：${v}_{Q}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}}$．
（3）微粒在第四象限中，當(dāng)速度的方向豎直向下時(shí)，運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)最大值．
設(shè)進(jìn)入第四象限時(shí)速度方向與x軸的夾角為θ，則有：tan$θ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{qE{x}_{0}}{m{{v}_{0}}^{2}}$，
微粒在第四象限中也是做類平拋運(yùn)動(dòng)，速度方向豎直向下時(shí)，沿電場(chǎng)方向的速度與豎直方向的夾角為θ，
設(shè)沿電場(chǎng)方向的速度為v′，
$tanθ=\frac{v}{v′}$，
解得：$v′=\frac{v}{tanθ}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}}\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{qE{x}_{0}}$．
則微粒從進(jìn)入第四象限開始到運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)最大所用的時(shí)間為：
$t′=\frac{v′}{{a}_{1}}$=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}}\frac{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{{q}^{2}{E}^{2}{x}_{0}}$．
答：（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，$\frac{qE{{x}_{0}}^{2}}{2m{{v}_{0}}^{2}}$）．
（2）微粒經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度為$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}}$．
（3）微粒從進(jìn)入第四象限開始到運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)最大所用的時(shí)間為$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}}\frac{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{{q}^{2}{E}^{2}{x}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法，知道粒子在垂直電場(chǎng)方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在沿電場(chǎng)方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．