Question

18．如圖甲所示，在光滑絕緣的水平面上固定著兩對幾何形狀完全相同的平行金屬板PQ和MN，P、Q與M、N四塊金屬板相互平行地豎直地放置，其俯視圖如圖乙所示．已知P、Q之間以及M、N之間的距離都是d=0.2m，極板本身的厚度不計，極板長均為L=0.2m，P、Q之間以及M、N之間的電壓都是U=6.0×10²V．金屬板右側為豎直向下的勻強磁場，磁感應強度B=5×10²T，磁場區(qū)域足夠大．今有一質量為m=1×10^-4kg，電量為q=2×10^-6C的帶負電小球在水平面上如圖從PQ平行板間左側中點O沿極板中軸線以初速度v₀=4m/s進入平行金屬板PQ．
（1）試求小球剛穿出平行金屬板PQ進入磁場瞬間的速度大�。�
（2）若要小球穿出平行金屬板PQ后，經磁場偏轉射入平行金屬板MN中，且在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側中點O′沿中軸線射出．已知Q板電勢高于P板，則金屬板Q、M間距離是多少？

Answer 1

分析 （1）小球在PQ金屬板間在豎直方向受到的重力和支持力平衡，水平方向只受電場力，初速度平行板PQ，小球做類平拋運動，將小球的運動分解：平行于板的方向做勻速直線運動，垂直于板的方向做勻速直線運動．根據牛頓第二定律和運動學規(guī)律求解小球剛穿出平行金屬板PQ的速度．
（2）題中P板電勢高，在電場中小球向P板偏轉，進入后磁場后豎直方向重力和支持力仍平衡，由洛倫茲力提供向心力，小球做勻速圓周運動，根據運動的對稱性，畫出小球的運動軌跡．在MN板間的運動可看作類平拋運動的逆過程處理．由牛頓定律求出圓周運動的半徑，運用幾何知識求解金屬板Q、M間距離．

解答 解：（1）小球在PQ金屬板中做類平拋運動：
小球所受電場力：$F=qE=q\frac{U}dlmim4y$，
小球的加速度：$a=\frac{F}{m}$，
解得：$a=\frac{Uq}{dm}=\frac{{6×{{10}^2}×2×{{10}^{-6}}}}{{0.2×1×{{10}^{-4}}}}m/{s^2}=60m/{s^2}$，
小球在板間運動的時間：$t=\frac{L}{v_0}=\frac{0.2}{4}s=0.05s$，
小球在垂直板方向上的速度：v_y=at=60×0.05m/s=3m/s，
則小球離開PQ板時的速度：${v_t}=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=\sqrt{{4^2}+{3^2}}m/s=5m/s$；
（2）若Q板電勢比P板高，則必須M板電勢高于N板電勢，其運動軌跡如曲線b所示．
否則不可能在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側中點O′沿中軸線射出．
小球進入磁場后做圓周運動，設運動半徑為R，因洛侖茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：$q{v_t}B=m\frac{v_t^2}{R}$，解得：$R=\frac{{m{v_t}}}{qB}=\frac{{1×{{10}^{-4}}×5}}{{2×{{10}^{-6}}×5×{{10}^2}}}m=0.5m$，
v_t與中軸線的夾角為：$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{3}{4}$，
在PQ極板間，若小球向Q板偏，設小球射入與射出磁場的兩點間的距離為h_b．
由圖中幾何關系可算得：h_b=2Rcosθ=0.8m，
小球偏離中軸線的位移：$y=\frac{1}{2}a{t^2}=7.5×{10^{-2}}$m，
當小球向Q板偏時，根據對稱性可得QM板間的距離為：
${d_{QM}}={h_b}-2（\frac292t7u1{2}-y）={h_b}-d+2y$，
代入數據得：d_QM=0.75m，因而金屬板Q、M間距離為0.75m．
答：（1）小球剛穿出平行金屬板PQ進入磁場瞬間的速度大小為5m/s；
（2）金屬板Q、M間距離是0.75m．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，帶電粒子在電場和磁場中運動研究方法不同：電場中類平拋運動采用運動的合成和分解，磁場中勻速圓周運動畫軌跡．