Question

2．探月工程三期飛行試驗器于2014年10月24日2時在中國西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，飛行試驗器飛抵距月球6萬千米附近進入月球引力影響區(qū)，開始月球近旁轉(zhuǎn)向飛行，最終進入距月球表面h的圓形工作軌道．設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，試求：
（1）飛行試驗器繞月球運行的周期
（2）飛行試驗器在工作軌道上的繞行速度
（3）月球的平均密度．

Answer 1

分析 （1）對于月球表面的物體，重力等于萬有引力，根據(jù)萬有引力定律列式；對于高度為h的軌道上的飛行器，根據(jù)萬有引力等于向心力列式；最后聯(lián)立求解即可；
（2）根據(jù)線速度的定義列式求解線速度；
（3）對于月球表面的物體，重力等于萬有引力，據(jù)此列式；再根據(jù)密度定義公式列式求解月球的平均密度．

解答 解：（1）對于月球表面的物體，重力等于萬有引力，故：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$；
對于飛行器：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}（R+h）$；
聯(lián)立解得：T=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$；
（2）飛行試驗器在工作軌道上的繞行速度：v=$\frac{2πr}{T}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（3）對于月球表面的物體，重力等于萬有引力，故：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$；
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
月球的平均密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$；
答：（1）飛行試驗器繞月球運行的周期為2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$；
（2）飛行試驗器在工作軌道上的繞行速度為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（3）月球的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$．

點評 萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力與星球表面重力相等是解決此類問題的主要入手點，關(guān)鍵是掌握相關(guān)公式及公式變換．