Question

8．利用萬有引力定律可以測量天體的質(zhì)量
（1）測地球的質(zhì)量
英國物理學(xué)家卡文迪許，在實驗室里巧妙地利用扭秤裝置，比較精確地測量出了引力常量的數(shù)值，他把自己的實驗說成是“稱量地球的質(zhì)量”．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G．若忽略地球自轉(zhuǎn)影響，求地球的質(zhì)量．
（2）測月球的質(zhì)量
所謂“雙星系統(tǒng)”，是指在相互間引力作用下，繞連線上某點O做勻速圓周運動兩個星球A和B，如圖所示．在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球影響，可將月球和地球看成“雙星系統(tǒng)”．已知月球公轉(zhuǎn)周期為T，月球、地球球心間距離為L．你還可以利用（1）中提供的信息，求月球的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，可解得地球的質(zhì)量M；
（2）雙星問題，它們之間的萬有引力提供向心力，它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離．求出地球和月球的總質(zhì)量，再減去（1）中求出的地球質(zhì)量即為月球質(zhì)量．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，地球表面某物體的質(zhì)量為m，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，則有$\frac{GMm}{R^2}=mg$，
解得：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
（2）設(shè)地球質(zhì)量為M₁，地球到O點的距離為r₁，月球質(zhì)量為M₂，月球到O點的距離為r₂，$\frac{{G{M_1}{M_2}}}{L^2}={M_1}{（\frac{2π}{T}）^2}{r_1}$$\frac{{G{M_1}{M_2}}}{L^2}={M_2}{（\frac{2π}{T}）^2}{r_2}$
又因為r₁+r₂=L聯(lián)立解得${M_1}+{M_2}=\frac{{4{π^2}{L^3}}}{{G{T^2}}}$，
由（1）可知${M_1}=\frac{{g{R^2}}}{G}$
解得月球質(zhì)量${M_2}=\frac{{4{π^2}{L^3}}}{{G{T^2}}}-\frac{{g{R^2}}}{G}$
答：（1）地球的質(zhì)量$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）月球的質(zhì)量為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}-\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$

點評 本題要掌握兩個關(guān)系：星球表面的物體受到的重力等于萬有引力；環(huán)繞天體繞中心天體做圓周運動所需要的向心力由萬有引力提供．這兩個關(guān)系可以解決天體運動的一切問題，雙星問題，要注意的是它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離，不能把它們的距離當(dāng)成軌道半徑．