Question

15．如圖為某種魚(yú)餌自動(dòng)投放器的裝置示意圖，其下半部AB是一長(zhǎng)為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口C處切線(xiàn)水平，AB管內(nèi)有原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．在彈簧上端放置一粒質(zhì)量為m的魚(yú)餌，解除鎖定后彈簧可將魚(yú)餌彈射出去．投餌時(shí)，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到0.5R后鎖定，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為6mgR （g為重力加速度）．不計(jì)魚(yú)餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，求：
（1）魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v₁：
（2）魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)對(duì)管子的作用力大小和方向：
（3）已知地面比水面高出1.5R，若豎直細(xì)管的長(zhǎng)度可以調(diào)節(jié)，圓孤彎道管BC可隨豎直細(xì)管-起升降．求魚(yú)餌到達(dá)水面的落點(diǎn)與AB所在豎直線(xiàn)OO′之間的最大距離L_max．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒定律求出魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出管口對(duì)魚(yú)餌的作用力大小，從而結(jié)合牛頓第二定律求出魚(yú)餌對(duì)管子的作用力大小和方向．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平位移的表達(dá)式，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)得出魚(yú)餌到達(dá)水面的落點(diǎn)與AB所在豎直線(xiàn)OO′之間的最大距離．

解答 解：（1）魚(yú)餌到達(dá)管口C的過(guò)程中彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為魚(yú)餌的重力勢(shì)能和動(dòng)能，
有：$6mgR=2.5mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{7gR}$．
（2）設(shè)C處管子對(duì)魚(yú)餌的作用力向下，大小設(shè)為F，
根據(jù)牛頓第二定律有：$mg+F=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得F=6mg，
由牛頓第三定律可得魚(yú)餌對(duì)管子的作用力F′=6mg，方向向上．
（3）設(shè)AB長(zhǎng)度為h，對(duì)應(yīng)平拋水平距離為x，
由機(jī)械能守恒定律有：$6mgR=mg（R+h-0.5R）+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得，x=vt，$2.5R+h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得x=$\sqrt{2g（5.5R-h）}\sqrt{\frac{2（2.5R+h）}{g}}$=$2\sqrt{（5.5R-h）（2.5R+h）}$，
當(dāng)h=1.5R時(shí)，x的最大值x_max=8R，
則L_max=x_max+R=9R．
答：（1）魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小為$\sqrt{7gR}$；
（2）魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)對(duì)管子的作用力大小為6mg，方向向上；
（3）魚(yú)餌到達(dá)水面的落點(diǎn)與AB所在豎直線(xiàn)OO′之間的最大距離為9R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程以及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．