Question

17．由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對(duì)它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式：三顆星體在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，圍繞某一共同的圓心O在三角形所在平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)，若A星體質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長(zhǎng)為a，求：
（1）C星體的軌道半徑R
（2）三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T．

Answer 1

分析 （1）C與B的質(zhì)量相等，所以運(yùn)行的規(guī)律也相等，然后結(jié)合向心力的公式即可求出C的軌道半徑；
（2）三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T相等，寫(xiě)出C的向心加速度表達(dá)式即可求出．

解答 解：（1）由萬(wàn)有引力定律，A星受到B、C的引力的大�。篎_BA=F_CA=$\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，方向如圖，
B星受到的引力分別為：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G•{m}^{2}}{{a}^{2}}$，方向如圖；

沿x方向：F_Bx=F_ABcos60°+F_CB=$\frac{2G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
沿y方向：F_By=F_ABsin60°=$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
可得${F}_{B}=\sqrt{{{F}_{Bx}}^{2}+{{F}_{By}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
通過(guò)對(duì)于B的受力分析可知，由于：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，合力的方向經(jīng)過(guò)BC的中垂線(xiàn)AD的中點(diǎn)，所以圓心O一定在BC的中垂線(xiàn)AD的中點(diǎn)處．所以：
${R}_{C}={R}_{B}=\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}a$．
（2）對(duì)C星：${F}_{C}={F}_{B}=\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}=m{R}_{C}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得T=$π\(zhòng)sqrt{\frac{{a}^{3}}{Gm}}$．
答：（1）C星體的軌道半徑R為$\frac{\sqrt{7}}{4}a$；
（2）三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T為$π\(zhòng)sqrt{\frac{{a}^{3}}{Gm}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題借助于三星模型考查萬(wàn)有引力定律，其中B與C的質(zhì)量相等，則運(yùn)行的規(guī)律、運(yùn)動(dòng)的半徑是相等的．結(jié)合萬(wàn)有引力定律和幾何關(guān)系綜合求解．