Question

5．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R，一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，要求物塊能通過圓形軌道最高點(diǎn)，且在該最高點(diǎn)與軌道間的壓力不能超過7mg（g為重力加速度），求物塊初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h的取值范圍．

Answer 1

分析 要求物塊相對(duì)于圓軌道底部的高度，必須求出物塊到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的速度，在最高點(diǎn)，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和軌道對(duì)物體的壓力提供，當(dāng)壓力恰好為0時(shí)，h最��；當(dāng)壓力最大時(shí)，h最大．由機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律結(jié)合解答．

解答 解：設(shè)小物塊剛好到圓形軌道最高點(diǎn)的速度為v₁．在最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為7mg時(shí)速度為v₂．在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
7mg+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mg（h₁-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
mg（h₂-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：h₁=2.5R，h₂=6R
故要求物塊既能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，又不使軌道離開地面，h的范圍為2.5R≤h≤6R．
答：物塊初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h的取值范圍為2.5R≤h≤6R．

點(diǎn)評(píng) 物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的過程中在最高點(diǎn)的最小速度必須滿足重力等于向心力，這是我們解決此類問題的突破口．要知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由指向圓心的合力充當(dāng)向心力．