Question

17．2016年2月11日，美國“激光干涉引力波天文臺”（LIGO）團隊向全世界宣布發(fā)現(xiàn)了引力波，這個引力波來自于距離地球13億光年之外一個雙黑洞系統(tǒng)的合并．已知光在真空中傳播的速度為c，太陽的質(zhì)量為M₀，萬有引力常量為G．
黑洞密度極大，質(zhì)量極大，半徑很小，以最快速度傳播的光都不能逃離它的引力，因此我們無法通過光學(xué)觀測直接確定黑洞的存在．假定黑洞為一個質(zhì)量分布均勻的球形天體．
（1）因為黑洞對其他天體具有強大的引力影響，我們可以通過其他天體的運動來推測黑洞的存在．天文學(xué)家觀測到，有一質(zhì)量很小的恒星獨自在宇宙中做周期為T，半徑為r₀的勻速圓周運動．由此推測，圓周軌道的中心可能有個黑洞．利用所學(xué)知識求此黑洞的質(zhì)量M；
（2）嚴(yán)格解決黑洞問題需要利用廣義相對論的知識，但早在相對論提出之前就有人利用牛頓力學(xué)體系預(yù)言過黑洞的存在．我們知道，在牛頓體系中，當(dāng)兩個質(zhì)量分別為m₁、m₂的質(zhì)點相距為r時也會具有勢能，稱之為引力勢能，其大小為E_p=-G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{r}$（規(guī)定無窮遠處勢能為零）．請你利用所學(xué)知識，推測質(zhì)量為M′的黑洞，之所以能夠成為“黑”洞，其半徑R最大不能超過多少？

Answer 1

分析 （1）、根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期求出黑洞的質(zhì)量M．
（2）、抓住臨界狀態(tài)，即黑洞第二宇宙速度等于光速，物體脫離黑洞時速度恰好為0，結(jié)合能量守恒定律求出半徑R的最大值

解答 解：（1）小恒星繞黑洞做勻速圓周運動，設(shè)小恒星質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律：
$G\frac{Mm}{{r}_{0}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}{r}_{0}$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{0}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）設(shè)質(zhì)量為m的物體，從黑洞表面至無窮遠處，根據(jù)能量守恒定律：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}+（-G\frac{M′m}{R}）=0$
解得R=$\frac{2GM′}{{v}^{2}}$因為連光都不能逃離，有v=c
所以黑洞的半徑最大不能超過：R=$\frac{2GM′}{{C}^{2}}$．
答：（1）此黑洞的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}{r}_{0}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）半徑R最大不能超過$\frac{2GM′}{{C}^{2}}$．

點評 該題結(jié)合黑洞的物理現(xiàn)象考查萬有引力定律的應(yīng)用，并能夠與愛因斯坦質(zhì)能方程相結(jié)合，有較好的創(chuàng)新型，是一道理論聯(lián)系實際的好題．