Question

15．火星表面特征非常接近地球，適合人類居住．2011年，我國宇航員王躍曾與俄羅斯宇航員一起進行過“模擬登火星”實驗活動．已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，自轉(zhuǎn)周期也基本相同．地球半徑為R，其表面重力加速度是g，萬有引力常量為G．
試求：（1）火星的第一宇宙速度  
（2）火星的密度．

Answer 1

分析 （1）在星球表面，根據(jù)萬有引力等于重力求出星球表面重力加速度，再根據(jù)星球表面重力提供向心力求出第一宇宙速度；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求出中心天體的質(zhì)量，再根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}$求解密度．

解答 解：（1）在地球表面上，重力等于萬有引力$G\frac{{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}=mg$，
同樣，在火星表面，火星的重力加速度為g′，則有：
$G\frac{{M}_{火}m}{{{R}_{火}}^{2}}=mg′$
聯(lián)立可得，火星表面的重力加速度為$g′=\frac{4}{9}g$
地球上的第一宇宙速度為v₁，火星上的第一宇宙速度為v₂，
則有，$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，$mg′=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{火}}$
聯(lián)立可得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{2}{9}gR}$
（2）在星球表面，重力等于萬有引力，則有：
$G\frac{{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}=mg$，
$G\frac{{M}_{火}m}{{{R}_{火}}^{2}}=mg′$，
地球密度$ρ=\frac{{M}_{地}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
火星密度$ρ′=\frac{{M}_{火}}{\frac{4}{3}π{{R}_{火}}^{3}}$，
聯(lián)立解得：${ρ}_{火}=\frac{2g}{3πGR}$
答：（1）火星的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{2}{9}gR}$；  
（2）火星的密度為$\frac{2g}{3πGR}$．

點評 通過物理規(guī)律把進行比較的物理量表示出來，再通過已知的物理量關(guān)系求出問題是選擇題中常見的方法．把星球表面的物體運動和天體運動結(jié)合起來是考試中常見的問題．