Question

7．如圖，在水平面（紙面）內(nèi)有三根單位長度電阻均為r₀的均勻金屬棒ab、ac和MN．其中ab、ac在a點(diǎn)接觸，構(gòu)成夾角為74°的“V”字型導(dǎo)軌．空間存在磁感位強(qiáng)度為B、方向垂于紙面的勻強(qiáng)磁場．MN在水平外力作用下向左勻速運(yùn)動，t=0時刻MN與a點(diǎn)相距L，運(yùn)動到t=T時刻與a點(diǎn)相距$\frac{L}{2}$，運(yùn)動中MN始終與∠bac的平分線垂直且和導(dǎo)軌保持良好接觸．sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）在MN運(yùn)動的T時間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動勢：
（2 ）在t（0≤t≤T）時刻MN受到水平外力的大小；
（3）在MN運(yùn)動的T時間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的電能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出平均電動勢．
（2）根據(jù)E=BLv求出瞬時電動勢，由閉合電路歐姆定律求出電流強(qiáng)度的大小，由F=BIL求安培力大小．
（3）由平均功的關(guān)系求出拉力做的功，然后由功能關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）t時刻，回路面積為S，$S=\frac{1}{2}×2Ltan37°×L=\frac{3}{4}{L}_{\;}^{2}$
在MN運(yùn)動的T時間內(nèi)，回路面積為原來的$\frac{1}{4}$，
面積變化量$△S=S-\frac{1}{4}S=\frac{3}{4}S=\frac{9}{16}{L}_{\;}^{2}$
平均感應(yīng)電動勢為：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B△S}{T}=\frac{B•\frac{9}{16}{L}_{\;}^{2}}{T}=\frac{9B{L}_{\;}^{2}}{16T}$
（2 ）在t時刻MN到a點(diǎn)的距離：x=L-vt
所以接入電路的導(dǎo)體棒的有效長度：l=2x•tan37°
產(chǎn)生的電動勢：E=Blv
電路中的電流：I′=$\frac{E}{R}$
電路中的電阻值：R=${r}_{0}•（2\frac{L-vt}{sin37°}+l）$
受到水平外力的大小：F=BI′l
聯(lián)立得：F=$\frac{4{B}^{2}（L-vt）ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$
（3）由（2）的公式可知，拉力F與時間t為線性關(guān)系，又由于棒做勻速運(yùn)動，位移與時間成正比，則在MN運(yùn)動的T時間內(nèi)，拉力做的功與位移成正比．
拉力F與位移圍成的面積可以表示拉力做的功，則：
W=$\overline{F}•△x$
又：vT=$\frac{1}{2}L$
開始時的拉力：${F}_{0}=\frac{4{B}^{2}Lta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$
T時刻的拉力：${F}_{t}=\frac{4{B}^{2}（L-\frac{L}{2}）ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$=$\frac{{F}_{0}}{2}$
所以拉力做的功：W=$\frac{6{B}^{2}{L}^{2}ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$
由功能關(guān)系可知，回路中產(chǎn)生的電能也是$\frac{6{B}^{2}{L}^{2}ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$．
答：（1）在MN運(yùn)動的T時間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動勢是$\frac{9B{L}^{2}}{16T}$：
（2 ）在t（0≤t≤T）時刻MN受到水平外力的大小是$\frac{4{B}^{2}（L-vt）ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$；
（3）在MN運(yùn)動的T時間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的電能是$\frac{6{B}^{2}{L}^{2}ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$

點(diǎn)評 本題是動生電動勢和感生電動勢同時產(chǎn)生的問題，要知道這兩個電動勢分別由切割式：E=BLv和法拉第電磁感應(yīng)定律求解，并由楞次定律判斷兩者方向關(guān)系，求回路總電動勢．