Question

15．在如圖所示的xoy平面直角坐標系中，一足夠長絕緣薄板正好和x軸的正半軸重合，在y＞a和y＜-a的區(qū)域內均分布著方向垂直紙面向里的相同的勻強磁場．一帶正電粒子，從y軸上的（0，a）點以速度v沿與y軸負向成45°角出射．帶電粒子與擋板碰撞前后，x方向的分速度不變，y方向的分速度反向、大小不變．已知粒子質量為m，電荷量為q，磁感應強度的大小B=$\frac{\sqrt{2}mv}{4qa}$．不計粒子的重力．
（1）求粒子進入下方磁場后第一次打在絕緣板上的位置
（2）若在絕緣板上的合適位置開一小孔，粒子穿過后能再次回到出發(fā)點．寫出在板上開這一小孔可能的位置坐標（不需要寫出過程） 
（3）在滿足（2）的情況下，求粒子從出射到再次返回出發(fā)點的時間．

Answer 1

分析 （1）作出粒子的運動軌跡，根據(jù)半徑公式求出粒子在磁場中運動的半徑，結合幾何關系求出粒子進入下方磁場后第一次打在絕緣板上的位置．
（2）根據(jù)幾何關系求出板上開這一小孔可能的位置坐標．
（3）根據(jù)轉過的弧長和速度求出運動的時間，注意圓周運動的周期性．

解答 解：（1）粒子的軌跡如圖所示，已知$B=\frac{{\sqrt{2}mv}}{4qa}$
由   $qvB=m\frac{v^2}{r}$，
得   $r=2\sqrt{2}a$
下磁場區(qū)域中弦長  l=2rsin45°=4a
所以第一次擊中點的坐標x=4a-2a-a=a
（2）開孔位置x=6na+a
或 x=6na+5a（n=0，1，2，3，…）
（3）若開孔位置在x=a，所用時間為${t_1}=\frac{{2\sqrt{2}a}}{v}+\frac{{2\sqrt{2}a+\frac{3}{2}πr}}{v}=\frac{{4\sqrt{2}a+3\sqrt{2}πa}}{v}$．
所以在x=6na+a處開孔，粒子運動的時間表達式為${t_{n1}}=\frac{{4\sqrt{2}a+3\sqrt{2}πa}}{v}+n（\frac{{2\sqrt{2}a}}{v}+3×\frac{{2\sqrt{2}a+\frac{3}{2}πr}}{v}+\frac{{\frac{1}{2}πr}}{v}）=\frac{{（4+3π）\sqrt{2}a}}{v}+n×\frac{{（4+5π）2\sqrt{2}a}}{v}$（n=0，1，2，…）             
若開孔在位置x=5a，所用時間為${t_2}=\frac{{2\sqrt{2}a}}{v}+3×\frac{{2\sqrt{2}a+\frac{3}{2}πr}}{v}+1×\frac{{\frac{π}{2}r}}{v}=\frac{{（4+5π）2\sqrt{2}a}}{v}$
所以在x=6na+5a處開孔，粒子運動的時間表達式為${t_{n2}}=（n+1）t_2^{\;}=（n+1）\frac{{（4+5π）2\sqrt{2}a}}{v}$（n=0，1，2，…）  
（或寫成 ${t_{n2}}=nt_2^{\;}=n\frac{{（4+5π）2\sqrt{2}a}}{v}$（n=1，2，3，…） 
答：（1）粒子進入下方磁場后第一次打在絕緣板上的位置坐標為a．
（2）板上開這一小孔可能的位置坐標為x=6na+a或 x=6na+5a（n=0，1，2，3，…）
（3）在x=6na+a處開孔，運動的時間為$\frac{（4+3π）\sqrt{2}a}{v}+n×\frac{（4+5π）2\sqrt{2}a}{v}$，在x=6na+5a處開孔，粒子運動的時間為$n\frac{（4+5π）2\sqrt{2}a}{v}$（n=1，2，3，…）

點評 本題考查了帶電粒子在磁場中的運動，難度較大，對數(shù)學能力的要求較高，關鍵作出軌跡圖，結合半徑公式、周期公式進行求解，根據(jù)周期性得出通項表達式是關鍵．